Геометрические фигуры. Прямоугольник

Нередко домашнему мастеру надо найти центр окружности или круглой детали. Я уже писал об одном из способов решения этой задачи в статье «как найти центр круга». Но у него есть один существенный недостаток — необходимо точно найти середину хорды и точно построить перпендикуляр из него.

К счастью, существует и другой метод точного нахождения центра круга не требующий никаких точных измерений. Он основан на том простом принципе, что если в окружность вписать прямоугольный треугольник, то его гипотенуза (самая длинная сторона) — будет диаметром этого круга или окружности.

Это подтверждается тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. А весь круг — это 360 градусов. И любой прямоугольник, чья гипотенуза равна диаметру круга – будет прямоугольным. И наоборот — любой прямоугольный треугольник своей гипотенузой представляет диаметр круга.

А что нам даст центр круга точнее, как не пересечение двух диаметров круга?

В качестве «источника» прямого угла проще всего взять лист писчей бумаги. На комбинатах по производству бумаги их рубят с очень высокой точностью. Можно воспользоваться страницей какого либо журнала и т.п.

На круглую деталь накладываем лист бумаги так, что бы один его угол находился на окружности или крае круга. И отмечаем точки, где лист соприкасается другими краями с кругом. Отмечаем эти точки.

Проводим прямую линию между отмеченными точками. Расстояние между ними является диаметром этого круга. Обрезаем лишнюю бумагу и проводим на детали прямую линию — диаметр.

Достаточно переместить наш треугольник в другое положение и нарисовать еще один диаметр круга, как тут же в точке пересечения диаметров мы и получим искомый центр окружности…

Таким образом, не проводя абсолютно никаких измерений, мы можем найти центр любой окружности.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Доказательство

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположные стороны равны.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Противоположные стороны параллельны.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Диагонали прямоугольника равны.

AC = BD

Доказательство

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .

Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).

Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.

Значит, AC = BD .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.

Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .

Доказано!

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AO = BO = CO = DO

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .

10. Сумма всех углов равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

11. Все углы прямоугольника прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}

\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).