Развитие / 11.04.2024

Размерность центробежного момента инерции. Осевой момент инерции

Если через точку О провести координатные оси , то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины определяемые равенствами:

где - массы точек; - их координаты; при этом очевидно, что и т. д.

Для сплошных тел формулы (10) по аналогии с (5) принимают вид

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях могут обращаться в нули.

Главные оси инерции. Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Охуz так, чтобы ось была направлена вдоль оси симметрии (рис. 279). Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой тк и координатами будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными . В результате получим, что так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по знаку; отсюда, учитывая равенства (10), находим:

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси z характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции . Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О.

Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки.

Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии (на рис. 279 плоскостью симметрии тела является плоскость ). Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси и перпендикулярную им ось Тогда в силу симметрии каждой точке с массой и координатами будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными . В результате, как и в предыдущем случае, найдем, что или откуда следует, что ось является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Равенства (11) выражают условия того, что ось является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Аналогино, если то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

то каждая из координатных осей является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Например, на рис. 279 все три оси являются для точки О главными осями инерции (ось как ось симметрии, а оси Ох и Оу как перпендикулярные плоскостям симметрии).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из доказанного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела.

В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (11), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Охуz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются (см. § 105, 132). С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел (см. § 136), о центре удара (см. § 157) и др.

Рассмотрим еще несколько геометрических характеристик плоских фигур. Одна из этих характеристик носит название осевого или экваториального момента инерции. Эта характеристика относительно осей и
(Рис.4.1) принимает вид:

;
. (4.4)

Основным свойством осевого момента инерции является то, что он не может быть меньше нуля или равным нулю. Этот момент инерции всегда больше нуля:
;
. Единица измерения осевого момента инерции – (длина 4).

Соединим отрезком прямой линии начало координат с бесконечно малой площадью
и обозначим этот отрезок буквой(Рис.4.4). Момент инерции фигуры относительно полюса – начала координат – называется полярным моментом инерции:

. (4.5)

Этот момент инерции так же, как и осевой, всегда больше нуля (
) и имеет размерность – (длина 4).

Запишем условие инвариантности суммы экваториальных моментов инерции относительно двух взаимно перепендикулярных осей. Из рис.4.4 видно, что
.

Подставим это выражение в формулу (4.5), получим:

Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпедикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Момент инерции плоской фигуры относительно одновременно двух взаимно перепендикулярных осей называется двухосным или центробежным моментом инерции. Центробежный момент инерции имеет следующий вид:

. (4.7)

Центробежный момент инерции имеет размерность – (длина 4). Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называютсяглавными осями инерции . Докажем, что ось симметрии плоской фигуры является главной осью.

Рассмотрим плоскую фигуру, изображенную на рис.4.5.

Выберем слева и справа от оси симметрии два элемента с бесконечно малой площадью
. Центр тяжести всей фигуры находится в точке С. Поместим начало координат в точку С и обозначим координаты выбранных элементов по вертикали буквой“”, по горизонтали – для левого элемента “
”, для правого элемента “”. Вычислим сумму центробежных моментов инерции для выбранных элементов с бесконечно малой площадью относительно осей и:

Если проинтегрировать выражение (4.8) слева и справа, получим:

, (4.9)

так как, если ось является осью симметрии, то для любой точки, лежащей слева от этой оси, всегда найдется ей симметричная.

Анализируя полученное решение, приходим к выводу, что ось симметрии является главной осью инерции. Центральная осьтакже является главной осью, хотя она и не является осью симметрии, так как центробежный момент инерции вычислялся одновременно двух осейии оказался равным нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:

Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.

Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.

Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:

где - момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; - площадь сечения; - расстояние между осями.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .

Решение

Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что:

Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна:

Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.

Решение

Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как:

произведение инерции, одна из величин, характеризующих распределение масс в теле (механической системе). Ц. м. и. вычисляются как суммы произведений масс m к точек тела (системы) на две из координат x k , у к, z k этих точек:

Значения Ц. м. и. зависят от направлений координатных осей. При этом для каждой точки тела существуют по крайней мере три такие взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых Ц. м. и. равны нулю.

Понятие Ц. м. и. играет важную роль при изучении вращательного движения тел. От значений Ц. м. и. зависят величины сил давления на подшипники, в которые закреплена ось вращающегося тела. Эти давления будут наименьшими (равны статическим), если ось вращения является главной осью инерции, проходящей через центр масс тела.

- ...
Физическая энциклопедия
- ...
Физическая энциклопедия
- см. Эфферентный...
Большая психологическая энциклопедия
- геометрическая характеристика поперечного сечения открытого тонкостенного стержня, равная сумме произведений элементарных площадок сечений на квадраты секториальных площадей - секторен инерционен момент -...
Строительный словарь
- геометрическая характеристика поперечного сечения стержня, равная сумме произведений элементарных площадок сечения на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси - инерционен момент - moment setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Строительный словарь
- величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные М. и. Осевой М. и. равен сумме произведений...
- главные, три взаимно перпендикулярные оси, к-рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- ось в плоскости поперечного сечения твёрдого тела, относительно которой определяется момент инерции сечения - инерционна ос - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - инерцийн тэнхлэг - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - eje...
Строительный словарь
- момент времени, в который продукция, отгруженная покупателю, считается реализованной...
Энциклопедический словарь экономики и права
- понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные...
- главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую-нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно...
Большая Советская энциклопедия
- произведение инерции, одна из величин, характеризующих распределение масс в теле...
Большая Советская энциклопедия
- величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции...
- главные - три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при...
Большой энциклопедический словарь
- ...
Формы слова

"Центробежный момент инерции" в книгах

Вопреки инерции

Из книги Сфинксы XX века автора Петров Рэм Викторович

Вопреки инерции

Из книги Сфинксы XX века автора Петров Рэм Викторович

Вопреки инерции «В последние два десятилетия иммунологическая природа отторжения тканевых трансплантатов стала общепризнанной и все аспекты процессов отторжения находятся под жестким экспериментальным контролем». Лесли Брент Отпечатки пальцев Итак, на вопрос «Что

По инерции

Из книги Сколько стоит человек. Повесть о пережитом в 12 тетрадях и 6 томах. автора

По инерции

Из книги Сколько стоит человек. Тетрадь десятая: Под «крылышком» шахты автора Керсновская Евфросиния Антоновна

По инерции Чтобы оценить пейзаж, надо посмотреть на картину с некоторого расстояния. Чтобы правильно оценить то или иное событие, также нужна известная дистанция. Действовал закон инерции. Пока дух перемен дошел до Норильска, еще долгое время казалось, что все скользит по

24. Сила Инерции

Из книги Эфирная механика автора Данина Татьяна

24. Сила Инерции Эфир, испускаемый задним полушарием инерционно движущейся частицы, это и есть Сила Инерции. Эта Сила Инерции – это отталкивание Эфира, заполняющего частицу, Эфиром, испускаемым ею самой.Величина Инерционной Силы пропорциональна скорости испускания

3.3.1. Погружной центробежный насос

Из книги Сам себе сантехник. Сантехнические дачные коммуникации автора Кашкаров Андрей Петрович

3.3.1. Погружной центробежный насос В этом разделе рассмотрим вариант с погружным центробежным насосом НПЦ-750.Водой из ключа я пользуюсь с апреля по октябрь. Закачиваю ее погружным центробежным насосом НПЦ-750/5нк (первая цифра указывает на потребляемую мощность в ваттах,

Всюду одинакова, то

J a = ρ ∫ (V) r 2 d V . {\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.}

Теорема Гюйгенса - Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы , формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса - Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :

J = J c + m d 2 , {\displaystyle J=J_{c}+md^{2},}

где m - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Описание	Положение оси a	Момент инерции J a
Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	1 2 m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mr^{2}}
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1	Ось цилиндра	m r 2 2 + r 1 2 2 {\displaystyle m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}}
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 {\displaystyle {1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	1 12 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ml^{2}}
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	1 3 m l 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}ml^{2}}
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	2 3 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}
Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	2 5 m r 2 {\displaystyle {\frac {2}{5}}mr^{2}}
Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	3 10 m r 2 {\displaystyle {\frac {3}{10}}mr^{2}}
Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину	1 24 m (a 2 + 12 h 2) {\displaystyle {\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})}
Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	1 12 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{12}}ma^{2}}
Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	1 6 m a 2 {\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}}
Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	1 12 m (a 2 + b 2) {\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})}
Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{6}}\left}
Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R , радиусом образующей окружности r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс	I = m (3 4 r 2 + R 2) {\displaystyle I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)}

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . {\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).}

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . {\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.}

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ . Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.}

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = {\displaystyle J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle =2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}

Поскольку объём и масса кольца равны

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , {\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,}

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0 ), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

J = 1 2 m R 2 . {\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.}

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

r = R h H , {\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},}

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;}

Интегрируя, получим

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

r = R 2 − h 2 . {\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}

Масса и момент инерции такого диска составят

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; {\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . {\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.}

Момент инерции шара найдём интегрированием:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . {\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . {\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.}

Интегрируя, получим

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . {\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.}

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l ⁄ 2 . По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . {\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}

где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции .

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма

J V a = ∫ (V) r 2 d V , {\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}

где, как и ранее r - расстояние от элемента dV до оси a .

Геометрический момент инерции площади относительно оси - геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой :

J S a = ∫ (S) r 2 d S , {\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}

где интегрирование выполняется по поверхности S , а dS - элемент этой поверхности.

Размерность J Sa - длина в четвёртой степени ( d i m J S a = L 4 {\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} } ), соответственно единица измерения СИ - 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см 4 .

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения :

W = J S a r m a x . {\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

Здесь r max - максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой h {\displaystyle h} и шириной b {\displaystyle b} :	J y = b h 3 12 {\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}} J z = h b 3 12 {\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}}
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H {\displaystyle H} и B {\displaystyle B} , а по внутренним h {\displaystyle h} и b {\displaystyle b} соответственно	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) {\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})} J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) {\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})}
Круга диаметром d {\displaystyle d}	J y = J z = π d 4 64 {\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}}

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости .

Если через произвольную точку O {\displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {\displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {\displaystyle xOy} , y O z {\displaystyle yOz} и z O x {\displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , {\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , {\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . {\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .}

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции ) J O {\displaystyle J_{O}} - это величина, определяемая выражением :

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , {\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей :

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , {\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad } (1)

где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} и состоит из компонент центробежных моментов:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , {\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,} J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , {\displaystyle J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad } J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . {\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.}

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора J ^ {\displaystyle {\hat {J}}} :

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , {\displaystyle {\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}},} J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , {\displaystyle {\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array}}\right\Vert ,}

где Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} - ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины J X , J Y , J Z {\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} - главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , {\displaystyle I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{2},}

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на I s {\displaystyle I_{s}}

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 {\displaystyle \left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Z}=1}

и произведя замены:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {\displaystyle \xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}},\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}},\zeta ={s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}},}

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {\displaystyle \xi \eta \zeta } :

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. {\displaystyle \xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s . {\displaystyle r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}={1 \over I_{s}}.}

Предыдущая запись

Памятка по русскому языку

Следующая запись

Одиннадцать загадок марса

Вверх

Размерность центробежного момента инерции. Осевой момент инерции