Предел функции на бесконечности презентация. "предел функции"

Правила вычисления пределов Если lim f(x) = b и lim g(x) =c, то x 1) Предел суммы равен сумме пределов: lim (f(x)+ g(x)) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Предел произведения равен произведению пределов: lim f(x)·g(x) = lim f(x) * lim g(x) = b·c x x x 3) Предел частного равен частному пределов: lim f(х):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim k· f(x) = k · lim f(x)= k b x x

План конспекта Графики функций y=1/x и y=1/x 2. Графики функций y=1/x m, для m четных и нечетных. Понятие горизонтальной асимптоты. Понятия предела функции на +, -,. Геометрический смысл предела функции на +, -,. Правила вычисления пределов функции на. Формулы вычисления предела функции на. Приемы вычисления пределов функции на.

Итог урока Что означает существование предела функции на бесконечности? Какую асимптоту имеет функция y=1/ x 4 ? Какие вы знаете правила для вычисления пределов функции на бесконечности? С какими формулами вычисления пределов на бесконечности вы познакомились? Как найти lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

Использованная литература: - А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа классы. Мнемозина.М А.Г.Мордкович., П.В.Семенов. Методическое пособие для учителя. Алгебра и начала математического анализа класс. Базовый уровень. М.Мнемозина. 2010

Тема:

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. А. Дистервег

Постановка цели и задач урока:

изучить определение бесконечности;

• Определение предела функции на бесконечности;
• Определение предела функции на плюс бесконечности;
• Определение предела функции на минус бесконечности;
• Свойства непрерывных функций;

научиться вычислять несложные пределы функций на бесконечности.

Б. Больцано

Больца́но (Bolzano) Бернард (1781-1848), чешский математик и философ. Выступал против психологизма в логике; истинам логики приписывал идеальное объективное существование. Оказал влияние на

Э . Гуссерля . Ввел ряд важных понятий математического анализа , был предшественником Г. Кантора в исследовании бесконечных множеств .

Огюсте́н Луи́ Коши́ (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж - 23 мая 1857, Со, Франция) - великий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества

y =1 / x m

Существование

lim f(x) = b

x → ∞

эквивалентно наличию

горизонтальной асимптоты

у графика функции y = f(x)

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b и lim f(x) = b x →+∞ x→-∞ lim f(x) = b x→ ∞

Что будем изучать:

Что такое Бесконечность?

Предел функции на бесконечности

Предел функции на минус бесконечности .

Свойства .

Примеры.

Предел функции на бесконечности.

Бесконечность - используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Предел функции на бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч , и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Предел функции на бесконечности.

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

или

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Пример.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:

• Область определения – множество действительных чисел.
• f(x)- непрерывная функция

Решение:

Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

Предел функции на бесконечности.

Основные свойства.

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурального числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

то:

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Предел функции на бесконечности.

Пример 1.

Найти

Пример 2.

.

Пример 3.

Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности .

Предел функции на бесконечности.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.

Ответ:

Пример 3.

Ответ:

Предел функции на бесконечности.

.

• Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
• Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
• Найти пределы:

• Найти пределы:

Предел функции на бесконечности.

Задачи для самостоятельного решения .

Ответы:

• Что означает существование предела функции

на бесконечности?

• Какую асимптоту имеет график функции y=1/х 4 ?
• Какие вы знаете правила для вычисления пределов

функции на бесконечности?

• С какими формулами вычисления пределов

на бесконечности вы познакомились?

• Как найти lim (5-3x3) / (6x3 +2)?

• Что нового узнали на уроке?
• Какую цель мы ставили в начале урока?
• Наша цель достигнута?
• Что нам помогло справиться с затруднением?
• Какие знания нам пригодились при

выполнении заданий на уроке?

• Как вы можете оценить свою работу?

Этапы

Теор-ие вопросы

Кол-во баллов

Фронтальная работа

Макс-ое

Работа у доски

баллов

Сам-ая работа

Поощрит-ые баллы

6 баллов

От 20 баллов и выше оценка – «5»

От 15 до 19 баллов оценка – «4»

От 10 до 14 баллов оценка – «3»

Домашнее задание

§31, п.1, стр.150-151 - учебник;

№ 669 (в), 670 (в), 671 (в), 672 (в),

673(в), 674(в), 676(в), 700 (г) – задачник.

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е». (практическое занятие)

Цель занятия: Повторить, обобщить и систематизировать знания по теме «Вычисление пределов функции» и отработать их применение на практике

Ход урока: 1. Организационный момент 2. Проверка домашнего задания 3. Повторение опорных знаний 4. Изучение нового материала 5. Актуализация знаний 6. Домашнее задание 7. Итоги урока. Рефлексия

Проверка домашнего задания Вычислите пределы: 1 вариант 2 вариант 1) 1) 2) 2) 3) 3)

Проверка домашнего задания Ответы: 1) -1,2; 0,4; -√5 2) 25, 4/3, 1/5√2

Повторение опорных знаний Что называют пределом функции в точке? Записать определение непрерывности функции. Сформулируйте основные теоремы о пределах. Какие способы вычисления пределов вы знаете?

Повторение опорных знаний Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a , если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x , отличных от a и удовлетворяющих неравенству | x-a |

Повторение опорных знаний Основные теоремы о пределах: ТЕОРЕМА 1 . Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть ТЕОРЕМА 2 . Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть ТЕОРЕМА 3 . Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0 , а предел числителя конечен и отличен от нуля.

Повторение опорных знаний Способы вычисления пределов: Непосредственной подстановкой Разложение числителя и знаменателя на множители и сокращение дроби Домножение на сопряженные с целью избавления от иррациональности

Изучение нового материала Предел на бесконечности: Число А называется пределом функции y=f(x) на бесконечности (или при х, стремящимся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа А.

Изучение нового материала Разделим числитель и знаменатель дроби н старшую степень переменной:

Изучение нового материала Первый замечательный предел Второй замечательный предел равен

Изучение нового материала Использование замечательных пределов Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

Изучение нового материала

Актуализация знаний

Задание на дом Вычислите пределы: Задание на дом

Сегодня я узнал … Было трудно … Было интересно … Я понял, что… Теперь я могу … Я попробую … Я научился … Меня заинтересовало … Меня удивило … Рефлексия

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов.

Презентация «Предел функции» - наглядное пособие, помогающее в изучении материала по данной теме по алгебре. Пособие содержит подробное понятное описание теоретического материала, раскрывающего понятие предела функции, его графического представления, правил вычисления предела функции, связи свойств функции с ее пределом. Все теоретические основы, изложенные в презентации, по ходу демонстрации подкрепляются описанием решения соответствующих заданий.

Представление материала в форме презентации дает возможность подать изучаемые понятия более удобно для понимания. Использовать эффективные инструменты для запоминания материала.

Презентация начинается с напоминания вида функциональной зависимости y=f(n), nϵN. Раскрывается смысл предела функции при построении графика этой функции. Отмечается, что равенство limf(n)=bпри n→∞ означает, что прямая у=b, проведенная на координатной плоскости, представляет собой горизонтальную асимптоту, к которой стремится график функции при n→∞. На втором слайде на координатной плоскости изображен график функции y=f(х), область определения которого лежит на промежутке D(f)=. При наличии горизонтальной асимптоты у=b в области определения функция стремится к значению предела limf(х)=b при х→-∞. Приближение функции к асимптоте продемонстрировано на соответствующем рисунке, представленном на слайде.

На слайде 4 описывается случай приближения графика функции к горизонтальной асимптоте при стремлении ее аргумента и к +∞, и к -∞. Это означает одновременное выполнение условий limf(х)=b при х→-∞ и limf(х)=b при х→+∞. Иначе можно записать limf(х)=b при х→∞. На рисунке продемонстрирован пример такой функции и поведения ее графика на координатной плоскости.

Далее демонстрируются правила вычисления предела функции. В свойстве 1 отмечается, что для функции k/x m при натуральном m верно будет равенство lim(k/x m)=0 при х→∞. Во втором пункте указывается, что для пределов двух функций limf(х)=b и limg(х)=cбудут справедливы аналогичные свойства пределов последовательностей. То есть предел суммы определяется суммой пределов lim(f(х) + g(х))= b+с, предел произведения равен произведению пределов limf(х) g(х)= bс, предел частного равен частному пределовlimf(х)/g(х)= b/с при g(х)≠0 и с≠0, а также постоянный множитель может выносится за знак предела limkf(х) = kb.

Закрепить полученные знания можно при помощи описания решения примера 1, в котором нужно определить lim(√3·х 5 -17)/(х 5 +9). Для получения решения числитель и знаменатель дроби делятся на высшую степень переменной, то есть х 5 . После вычисления получаем lim(√3-17/ х 5)/(1+9/х 5).

Оценив пределы и воспользовавшись свойством предела частного, определяем, что lim(√3·х 5 -17)/(х 5 +9)=√3/1=√3. К данному примеру дается важное замечание, что вычисление пределов функции аналогично вычислению пределов последовательностей, но в данном случае нужно учесть, что х не может принимать значение - 5 √9, которое обращает знаменатель в нуль.

На следующем слайде рассмотрен случай, когда х→a. На рисунке хорошо видно, что для некоторой функции f(х) при приближении переменной к точке а, значение функции приближается к ординате соответствующей точки на графике, то есть limf(х)=b при х→a.

Слайды 9, 10, 11 содержат определения, раскрывающие понятия непрерывности функции, непрерывной функции в точке, на промежутке. При этом непрерывной считают функцию, у которой limf(х)= f(а) при х→a. В точке а функция будет непрерывной, если верно соотношение limf(х)= f(а) при х→a, а непрерывной на промежутке Х будет функция, непрерывная в любой точке промежутка Х.

Приводятся примеры оценки непрерывности функций. Отмечено, что функции у=С, y=kx+m, y=ax 2 +bx+c, y=|x|, y=x n для натуральных n являются непрерывными на всей числовой прямой, функция у=√х непрерывна на положительной полуоси, а функция y=x n непрерывна на положительной полуоси и отрицательной полуоси с разрывом в точке 0, непрерывными будут тригонометрические функции у=sinx, у=cosxна всей прямой, а у=tgx, у=ctgxпо всей области определения. Также функция, состоящая из рациональных или иррациональных, тригонометрических выражений, она является непрерывной для всех точек, где определена функция.

В примере 2 нужно вычислить предел lim (x 3 +3x 2 -11х-8) при х→-1. В начале решения отмечается, что данная функция, состоящая из рациональных выражений, определена на всей числовой оси и в точке х=-1. Поэтому функция является непрерывной в точке х=-1 и при стремлении к ней предел получает значение функции, то есть lim (x 3 +3x 2 -11х-8)=5 при х→-1.

Пример 3 демонстрирует вычисление предела lim (cosπx/√x+6) при х→1. Отмечается, что функция определена на всей числовой оси, поэтому является непрерывной и в точке х=1, следовательно, lim (cosπx/√x+6)=-1/7 при х→1.

В примере 4 требуется вычислить lim((x 2 -25)/(x-5)) при х→5. Данный пример особенный тем, что для х=5 знаменатель функции обращается в нуль, что недопустимо. Определить предел можно, преобразовав выражение. После сокращения получаем f(х)=х+5. Только в поиске решений следует учесть, то х≠5. При этомlim((x 2 -25)/(x-5))= lim(x+5)=10 при х→5.

На слайде 17 описано замечание, которое демонстрирует получение важного предела lim(sint/t)=1 при t →0, используя числовую окружность.

Слайд 18 представляет определение приращения аргумента и приращения функции. Приращение аргумента представлено разностью переменных х 1 -х 0 для функции, определенной в точках х 0 и х 1 . При этом изменение значения функции f(х 1)- f(х 0) называется приращением функции. Вводятся обозначения приращения аргумента Δх и приращения функции Δ f(х).

В примере 5 определяется приращение функции y=x 2 при переходе точки х 0 =2 к х=2,1 и х=1,98. Решение примера сводится к поиску значений в исходной и конечной точках и их разности. Так, в первом случае Δу=4,41-4=0,41, а во втором случае Δу=3,9204-4=-0,0796.

На слайде 21 отмечается, что при х→а справедлива запись (х-а)→0, что означает Δх→0. Также при стремлении f(х) → f(а), используемом в определении непрерывности справедлива запись f(х)-f(а) →0, то есть Δу→0. Используя данную запись, дается новое определение непрерывности в точке х=а, если для функции f(х) справедливо условие: если Δх→0, то Δу→0.

Для закрепления материала описывается решение примеров 6 и 7 ,в которых нужно найти приращение функции и предел отношения приращения функции к приращению аргумента. В примере 6 это нужно сделать для функции y=kx+m. Выводится приращение функции при переходе точки из х в (х+ Δх), демонстрируя изменения на графике. При этом получается Δу= kΔх, а lim(Δу/ Δх)=k при Δх→0. Аналогично разбирается поведение функции у=х 3 . Приращение данной функции при переходе точки из х в (х+ Δх) равно Δу=(3х 2 +3х Δх+(Δх) 2) Δх, а предел функции lim(Δу/ Δх)=3х 2 .

Презентация «Предел функции» может использоваться для ведения традиционного урока. Презентацию рекомендуется применять как инструмент дистанционного обучения. При необходимости самостоятельного изучения темы учеником пособие рекомендуется для самостоятельной работы.

В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и практический. В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления пределов. Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес, так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что получаемый результат был контролируемым. Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов высшей математики дает свой положительный результат. Занятия по данному курсу принесли свои результаты: - изучен большой объем теоретического и практического материала; - выработано умение выбирать способ вычисления предела; - отработано грамотное использование каждого способа вычисления; - закреплено умение проектировать алгоритм задания. Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.