Как найти полный квадрат. Интегрирование некоторых дробей

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

Вынесем общие множители в группах:

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

Формула квадрата суммы(разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

Распишем выражение:

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

Свернем полный квадрат суммы:

Преобразуем полученное выражение:

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 - разложить на множители:

Найдем выражения, которые стоят в квадрате:

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::

Распишем по формуле разности квадратов:

Пример 2 - решить уравнение:

;

В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:

Применим формулу разности квадратов:

Итак, имеем уравнение

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение:

Ответ: или

;

Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.

Как я уже отмечал, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования дроби . И поэтому наблюдается грустная тенденция: чем «навороченнее» дробь, тем труднее найти от нее интеграл. В этой связи приходится прибегать к различным хитростям, о которых я сейчас и расскажу. Подготовленные читатели могут сразу воспользоваться оглавлением :

• Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Метод искусственного преобразования числителя

Пример 1

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто . В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя, больше старшей степени знаменателя .

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель.

Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе мне нужно организовать , но там . Что делать? Заключаю в скобки и умножаю на : .

2) Теперь пробую раскрыть эти скобки, что получится? . Хмм… уже лучше, но никакой двойки при изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на :

3) Снова раскрываю скобки: . А вот и первый успех! Нужный получился! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое . Что делать? Чтобы выражение не изменилось, я обязан прибавить к своей конструкции это же :
. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать ?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:
. Простите, но у меня вообще-то было на предыдущем шаге , а не . Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на :

5) Снова для проверки раскрываю скобки во втором слагаемом:
. Вот теперь нормально: получено из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое , значит, я обязан прибавить к своему выражению :

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:
Гуд.

Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом я применил метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция . Рассмотренный метод разложения в сумму – есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно. Припоминаю рекордный случай, когда я выполнял подбор для 11-й степени, и разложение числителя заняло почти две строчки Вёрда.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей.
, , , (коэффициенты и не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле . Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в примере 6 сначала необходимо представить знаменатель в виде , потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Да что смотреть, попробуйте самостоятельно решить примеры №№7,8, тем более, они достаточно короткие:

Пример 7

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то большой респект – Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата , который уже фигурировал на уроке Геометрические преобразования графиков .

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь

Пример 10

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»

(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы , но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Определение

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c - произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 , поэтому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена» .

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаем: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x - 3) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Умение проделывать такую процедуру крайне необходимо во многих темах математики, связанных с квадратным трёхчленом ax 2 + bx + c . Самые распространённые:

1) Рисование парабол y = ax 2 + bx + c ;

2) Решение многих заданий на квадратный трёхчлен (квадратные уравнения и неравенства, задачи с параметрами и т.д.);

3) Работа с от некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен, а также работа с кривыми второго порядка (для студентов).

Полезная штука, короче! Претендуете на пятёрку? Тогда осваиваем!)

Что значит выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

Это задание означает, что исходный квадратный трёхчлен c помощью надо преобразовать вот к такому виду:

Число a что слева, что справа – одно и то же . Коэффициент при квадрате икса. Потому и обозначен одной буквой . Умножается справа на квадрат скобок. В самих скобках сидит тот самый двучлен, о котором и идёт речь в этой теме. Сумма чистого икса и какого-то числа m . Да, прошу обратить внимание, именно чистого икса ! Это важно.

А вот буковки m и n справа – некоторые новые числа. Какие уж получатся в результате наших преобразований. Они могут получиться положительными, отрицательными, целыми, дробными – всякими! В примерах ниже сами увидите. Эти числа зависят от коэффициентов a , b и c . Для них есть свои специальные общие формулы. Достаточно громоздкие, с дробями. Поэтому давать их прямо здесь и сейчас я не буду. Зачем вашим светлым головам лишний мусор? Да и неинтересно это. Поработаем творчески.)

Что необходимо знать и понимать?

Прежде всего, необходимо знать назубок . Хотя бы две из них – квадрат суммы и квадрат разности .

Вот эти:

Без этой парочки формул – никуда. Не только в этом уроке, а почти во всей остальной математике вообще. Намёк понятен?)

Но одних лишь механически заученных формул здесь недостаточно. Нужно ещё грамотно уметь применять эти формулы . Причём не столько напрямую, слева направо, сколько наоборот, справа налево . Т.е. по исходному квадратному трёхчлену уметь расшифровывать квадрат суммы/разности . Это значит, вы должны легко, на автомате, узнавать равенства типа:

x 2 +4 x +4 = (x +2) 2

x 2 -10 x +25 = (x -5) 2

x 2 + x +0,25 = (x +0,5) 2

Без этого полезного навыка – тоже никак… Так что если с этими простыми вещами проблемы, то закрывайте эту страницу. Рановато вам сюда.) Сначала сходите по ссылочке выше. Она – для вас!

Ах, вы давно в теме? Отлично! Тогда читаем дальше.)

Итак:

Как выделить полный квадрат двучлена в квадратном трёхчлене?

Начнём, разумеется, с простого.

Уровень 1. Коэффициент при x 2 равен 1

Это самая простая ситуация, требующая минимум дополнительных преобразований.

Например, дан квадратный трёхчлен:

х 2 +4х+6

Внешне выражение очень похоже на квадрат суммы. Мы знаем, что в квадрате суммы сидят чистые квадраты первого и второго выражений (a 2 и b 2 ), а также удвоенное произведение 2 ab этих самых выражений.

Ну, квадрат первого выражения у нас уже присутствует в чистом виде. Это х 2 . Собственно, именно в этом и заключается простота примеров этого уровня. Нужно получить квадрат второго выражения b 2 . Т.е. найти b . И зацепкой будет служить выражение с иксом в первой степени , т.е. 4х . Ведь 4х можно представить в виде удвоенного произведения икса на двойку. Вот так:

4 x = 2 ́ ·х·2

Значит, если 2 ab =2· x ·2 и a = x , то b =2 . Можно записать:

х 2 +4х+6 = х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ….

Так нам хочется. Но! Математике хочется, чтобы от наших действий суть исходного выражения не изменилась . Так уж она устроена. Мы прибавили к удвоенному произведению 2 2 , тем самым изменив исходное выражение. Значит, чтобы математику не обидеть, это самое 2 2 надо тут же и отнять . Вот так:

…= х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 -2 2 ….

Почти всё. Остаётся лишь добавить 6, в соответствии с исходным трёхчленом. Шестёрка-то никуда не делась! Пишем:

= х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 - 2 2 +6 = …

Теперь первые три слагаемых дают чистый (или – полный ) квадрат двучлена x +2 . Или (x +2) 2 . Чего мы и добиваемся.) Я даже не поленюсь и скобочки поставлю:

… = (х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Скобки сути выражения не меняют, зато чётко подсказывают, что, как и почему. Осталось свернуть эти три слагаемых в полный квадрат по формуле, сосчитать в числах оставшийся хвостик -2 2 +6 (это будет 2) и записать:

х 2 +4х+6 = (x +2) 2 +2

Всё. Мы выделили квадрат скобок (x +2) 2 из исходного квадратного трёхчлена х 2 +4х+6 . Превратили его в сумму полного квадрата двучлена (x +2) 2 и некоторого постоянного числа (двойки). А теперь я запишу всю цепочку наших преобразований в компактном виде. Для наглядности.

И все дела.) Вот и вся суть процедуры выделения полного квадрата.

Кстати, чему здесь равны числа m и n ? Да. Каждое из них равно по двойке: m =2, n =2 . Так уж получилось в ходе выделения.

Другой пример:

Выделить полный квадрат двучлена:

х 2 -6х+8

И опять первый взгляд – на слагаемое с иксом. Превращаем 6х в удвоенное произведение икса и тройки. Перед удвоенным – минус. Значит, выделяем квадрат разности . Прибавляем (для получения полного квадрата) и тут же вычитаем (для компенсации) тройку в квадрате, т.е. 9. Ну и про восьмёрку не забываем. Получим:

Здесь m =-3 и n =-1 . Оба отрицательные.

Улавливаете принцип? Тогда настал черёд освоить и общий алгоритм . Всё то же самое, но через буквы . Итак, перед нами квадратный трёхчлен x 2 + bx + c (a =1) . Что мы делаем:

bx b /2 :

b с .

Ясненько? Первые два примера были совсем простые, с целыми числами. Для знакомства. Хуже, когда в процессе преобразований вылезают дроби. Главное здесь – не бояться! А чтобы не бояться, всяко надо знать действия с дробями, да…) Но здесь же пятёрочный уровень, не так ли? Усложняем задачу.

Допустим задан такой трёхчлен:

х 2 +х+1

Как в этом трёхчлене организовать квадрат суммы? Не вопрос! Точно так же . Работаем по пунктам.

1. Смотрим на слагаемое с иксом в первой степени ( bx ) и превращаем его в удвоенное произведение икса на b /2 .

Наше слагаемое с иксом есть просто икс. И… что? Как нам одинокий икс превратить в удвоенное произведение ? Да очень просто! Прямо по инструкции. Вот так:

Число b в исходном трёхчлене – единичка. Стало быть, b /2 получается дробным. Одна вторая. 1/2. Ну и ладно. Не маленькие уже.)

2. К удвоенному произведению прибавляем и тут же отнимаем квадрат числа b /2. Прибавляем – для дополнения до полного квадрата. Отнимаем – для компенсации. В самом конце прибавляем свободный член с .

Продолжаем:

3. Первые три слагаемых сворачиваем в квадрат суммы/разности по соответствующей формуле. Оставшееся снаружи выражение аккуратно считаем в числах.

Первые три слагаемых отделяем скобками. Можно и не отделять, конечно. Делается это чисто для удобства и наглядности наших преобразований. Теперь хорошо видно, что в скобках сидит полный квадрат суммы (x +1/2) 2 . А всё оставшееся за пределами квадрата суммы (если посчитать) даёт +3/4. Финишная прямая:

Ответ:

Здесь m =1/2 , а n =3/4 . Дробные числа. Бывает. Такой уж трёхчлен попался…

Такая вот технология. Разобрались? Можно двигать на следующий уровень?)

Уровень 2. Коэффициент при x 2 не равен 1 – как быть?

Это более общий случай по сравнению со случаем а=1 . Объём вычислений, разумеется, возрастает. Это огорчает, да… Зато общий ход решения в целом остаётся прежним. Просто к нему добавляется всего один новый шаг. Это радует.)

Пока рассмотрим безобидный случай, безо всяких дробей и прочих подводных камней. Например:

2 x 2 -4 x +6

В серединке стоит минус. Значит, будем подгонять под квадрат разности. Но коэффициент при квадрате икса – двойка. А проще работать с единичкой. C чистым иксом. Что делать? А вынесем-ка эту двойку за скобки! Чтоб не мешала. Имеем право! Получим:

2(x 2 -2 x +3)

Вот так. Теперь трёхчлен в скобках – уже с чистым иксом в квадрате! Как того требует алгоритм уровня 1. И теперь уже можно работать с этим новым трёхчленом по старой отработанной схеме. Вот и действуем. Выпишем-ка его отдельно да преобразуем:

x 2 -2 x +3 = x 2 -2· x ·1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2· x ·1+1 2 ) -1 2 +3 = (x -1) 2 +2

Полдела сделано. Осталось вставить полученное выражение внутрь скобок, да раскрыть их обратно. Получится:

2(x 2 -2 x +3) = 2((x -1) 2 +2) = 2(x -1) 2 +4

Готово!

Ответ:

2 x 2 -4 x +6 = 2( x -1) 2 +4

Фиксируем в голове:

Если коэффициент при квадрате икса не равен единице, то выносим этот коэффициент за скобки. С оставшимся внутри скобок трёхчленом работаем по привычному алгоритму для a =1. Выделив в нём полный квадрат, вставляем результат на место, а внешние скобки раскрываем обратно.

А если коэффициенты b и с не делятся нацело на а? Это – самый общий и одновременно самый скверный случай. Тогда только дроби, да... Ничего не поделать. Например:

3 x 2 +2 x -5

Всё аналогично, отправляем тройку за скобки, получаем:

К сожалению, ни двойка, ни пятёрка нацело на тройку не делятся, поэтому коэффициенты нового (приведённого) трёхчлена – дробные . Ну и ничего страшного. Работаем прямо с дробями: две трети икс превращаем в удвоенное произведение икса на одну треть, прибавляем квадрат одной трети (т.е. 1/9), отнимаем его, отнимаем 5/3...

В общем, вы поняли!

Дорешайте, чего уж там. Должно в итоге получиться:

И ещё одни грабли. Многие ученики лихо расправляются с положительными целыми и даже дробными коэффициентами, но зависают на отрицательных. Например:

- x 2 +2 x -3

Что делать с минусом перед x 2 ? В формуле квадрата суммы/разности всяко плюс нужен... Не вопрос! Всё то же самое . Выносим этот самый минус за скобки. Т.е. минус единицу . Вот так:

- x 2 +2 x -3 = -(x 2 -2 x +3) = (-1)·(x 2 -2 x +3)

И все дела. А с трёхчленом в скобках - опять по накатанной колее.

x 2 -2 x +3 = (x 2 -2 x +1) -1+3 = (x -1) 2 +2

Итого, с учётом минуса:

- x 2 +2 x -3 = -((x -1) 2 +2) = -(x -1) 2 -2

Вот и всё. Что? Не знаете, как выносить минус за скобки? Ну, это вопрос к элементарной алгебре седьмого класса, не к квадратным трёхчленам...

Запоминаем: работа с отрицательным коэффициентом а ничем по своей сути не отличается от работы с положительным. Выносим отрицательное а за скобки, а дальше - по всем правилам.

Зачем нужно уметь выделять полный квадрат?

Полезная вещь первая - рисуем параболы быстро и без ошибок!

Например, такое задание:

Построить график функции: y =- x 2 +2 x +3

Что делать будем? По точкам строить? Можно, конечно. Маленькими шажочками по длинной дороге. Довольно тупо и неинтересно…

Прежде всего, напоминаю, что при построении любой параболы мы всегда предъявляем ей стандартный набор вопросов. Их два. А именно:

1) Куда направлены ветви параболы?

2) В какой точке находится вершина?

С направлением ветвей всё ясно прямо из исходного выражения. Ветви будут направлены вниз , ибо коэффициент перед x 2 – отрицательный. Минус один. Минус перед квадратом икса всегда переворачивает параболу.

А вот с расположением вершины всё не так очевидно. Есть, конечно, общая формула вычисления её абсциссы через коэффициенты a и b .

Вот эта:

Но далеко не каждый помнит эту формулку, ох не каждый… А 50% тех, кто всё-таки помнит, спотыкаются на ровном месте и косячат в банальной арифметике (обычно при подсчёте игрека). Обидно, правда?)

Сейчас вы научитесь искать координаты вершины любой параболы в уме за одну минуту! И икс и игрек. Одним махом и безо всяких формул. Как? С помощью выделения полного квадрата!

Итак, выделим полный квадрат в нашем выражении. Получим:

y=- x 2 +2 x +3 = -(x -1) 2 +4

Кто хорошо прошарен в общих сведениях о функциях и хорошо освоил тему "преобразования графиков функций ", тот без труда сообразит, что наша искомая парабола получается из обычной параболы y = x 2 c помощью трёх преобразований. Это:

1) Смена направления ветвей.

Об этом говорит знак "минус" перед квадратом скобок (а=-1 ). Было y = x 2 , стало y =- x 2 .

Преобразование: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Параллельный перенос параболы у=- x 2 по иксу на 1 единицу ВПРАВО.

Так получается промежуточный график y=-(x -1 ) 2 .

Преобразование: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).

Почему смещение вправо, а не влево, хотя в скобках - минус? Такова теория преобразований графиков. Это отдельная тема.

Ну и наконец,

3) Параллельный перенос параболы y=-( x -1) 2 по игреку на 4 единицы ВВЕРХ .

Так получается окончательная парабола y= -(x -1) 2 +4 .

Преобразование: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)

А теперь смотрим на нашу цепочку преобразований и соображаем: куда смещается вершина параболы y =х 2 ? Была в точке (0; 0), после первого преобразования вершина никуда не сместилась (парабола просто перевернулась), после второго – съехала по иксу на +1, а после третьего – по игреку на +4. Итого вершина попала в точку (1; 4) . Вот и весь секрет!

Картинка будет следующей:

Собственно, именно по этой причине я с такой настойчивостью заострял ваше внимание на числах m и n , получающихся в процессе выделения полного квадрата. Не догадались, зачем? Да. Дело в том, что точка с координатами (- m ; n ) – это всегда вершина параболы y = a ( x + m ) 2 + n . Просто смотрим на числа в преобразованном трёхчлене и в уме даём верный ответ, где находится вершина. Удобно, правда?)

Рисование парабол – это первая полезная вещь. Переходим ко второй.

Полезная вещь вторая – решение квадратных уравнений и неравенств.

Да-да! Выделение полного квадрата во многих случаях оказывается гораздо быстрее и эффективнее традиционных приёмов решения подобных заданий. Сомневаетесь? Пожалуйста! Вот вам задание:

Решить неравенство:

x 2 +4 x +5 > 0

Узнали? Да! Это классическое квадратное неравенство . Все такие неравенства решаются по стандартному алгоритму. Для этого нам надо:

1) Сделать из неравенства уравнение стандартного вида и решить его, найти корни.

2) Нарисовать ось Х и отметить точками корни уравнения.

3) Схематично изобразить параболу по исходному выражению.

4) Определить области +/- на рисунке. Выбрать нужные области по исходному неравенству и записать ответ.

Собственно, весь этот процесс и напрягает, да…) И, более того, не всегда спасает от ошибок в нестандартных ситуациях типа этого примера. Попробуем сначала по шаблону?

Итак, выполняем пункт первый. Делаем из неравенства уравнение:

x 2 +4 x +5 = 0

Стандартное квадратное уравнение, без фокусов. Решаем! Считаем дискриминант:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Вот-те раз! А дискриминант-то отрицательный! Нет корней у уравнения! И на оси рисовать нечего… Что делать?

Вот тут некоторые могут сделать вывод, что исходное неравенство тоже не имеет решений . Это фатальное заблуждение, да… Зато с помощью выделения полного квадрата верный ответ к этому неравенству можно дать за полминуты! Сомневаетесь? Что ж, можете засекать время.

Итак, выделяем полный квадрат в нашем выражении. Получаем:

x 2 +4 x +5 = (x +2) 2 +1

Исходное неравенство стало выглядеть вот так:

(x +2) 2 +1 > 0

А теперь, ничего далее не решая и не преобразовывая, просто включаем элементарную логику и соображаем: если к квадрату какого-то выражения (величине заведомо неотрицательной !) прибавить ещё единичку, то какое число мы в итоге получим? Да! Строго положительное !

А теперь смотрим на неравенство:

(x +2) 2 +1 > 0

Переводим запись с математического языка на русский: при каких икс строго положительное выражение будет строго больше нуля? Не догадались? Да! При любых!

Вот вам и ответ: х – любое число .

А сейчас вернёмся к алгоритму. Всё-таки понимание сути и простое механическое заучивание – вещи разные.)

Суть алгоритма в том, что мы из левой части стандартного неравенства делаем параболу, и смотрим, где она выше оси Х, а где ниже. Т.е. где положительные значения левой части, где отрицательные.

Если мы сделаем из нашей левой части параболу:

y = x 2 +4 x +5

И нарисуем её график, то увидим, что вся парабола целиком проходит выше оси Х. Картинка будет выглядеть вот так:

Парабола кривовата, да… На то она и схематичная. Но при этом всё что нам надо, на картинке видно. Нет у параболы точек пересечения с осью Х, нет нулевых значений игрека. И отрицательных значений, естественно, тоже нет. Что и показано штриховкой всей оси Х целиком. Кстати, ось Y и координаты вершины я здесь изобразил не зря. Сравните координаты вершины параболы (-2; 1) и наше преобразованное выражение!

y = x 2 +4 x +5 = ( x +2) 2 +1

И как вам? Да! В нашем случае m =2 и n =1 . Стало быть, вершина параболы имеет координаты: (- m ; n ) = (-2; 1) . Всё логично.)

Ещё задание:

Решить уравнение:

x 2 +4 x +3 = 0

Простецкое квадратное уравнение. Можно решать по старинке, . Можно через . Как угодно. Математика не возражает.)

Получим корни: x 1 =-3 x 2 =-1

А если ни тот, ни другой способы того… не помним? Что ж, двойка вам светит, по-хорошему, но… Так уж и быть, спасу! Покажу, как можно решать некоторые квадратные уравнения только лишь методами седьмого класса. Снова выделяем полный квадрат! )

x 2 +4 x +3 = (x +2) 2 -1

А теперь расписываем полученное выражение как… разность квадратов! Да-да, есть такая в седьмом классе:

a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)

В роли а выступают скобки (x +2) , а в роли b - единичка. Получаем:

(x +2) 2 -1 = (x +2) 2 -1 2 = ((x +2)-1)((x +2)+1) = (x +1)(x +3)

Вставляем это разложение в уравнение вместо квадратного трёхчлена:

(x +1)(x +3)=0

Осталось сообразить, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Вот и приравниваем (в уме!) к нулю каждую скобку.

Получим: x 1 =-3 x 2 =-1

Вот и всё. Те же самые два корня. Такой вот искусный приёмчик. В дополнение к дискриминанту.)

К слову, о дискриминанте и об общей формуле корней квадратного уравнения:

В уроке по мною был опущен вывод этой громоздкой формулы. За ненадобностью. Зато здесь ему самое место.) Не хотите ли узнать, как получается эта формула ? Откуда вообще берётся выражение для дискриминанта и почему именно b 2 -4ac , а не как-то иначе? Всё-таки полное понимание сути происходящего куда полезнее бездумной писанины всяких буковок и символов, правда?)

Полезная вещь третья – вывод формулы корней квадратного уравнения.

Ну что, поехали! Берём квадратный трёхчлен в общем виде ax 2 + bx + c и… начинаем выделять полный квадрат! Да, прямо через буквы! Была арифметика, стала – алгебра.) Сначала, как обычно, выносим букву a за скобки, а все остальные коэффициенты делим на a:

Вот так. Это вполне законное преобразование: а не равно нулю , и делить на неё можно. А со скобками снова работаем по обычному алгоритму: из слагаемого с иксом делаем удвоенное произведение, прибавляем/отнимаем квадрат второго числа…

Всё то же самое, но с буквами.) Попробуйте доделать сами! Полезно!)

После всех преобразований у вас должно получиться вот что:

И зачем нам из безобидного трёхчлена сооружать такие нагромождения - спросите вы? Ничего, сейчас интересно будет! А теперь, знамо дело, приравниваем эту штуку к нулю :

Решаем как обычное уравнение, работаем по всем правилам, только с буквами . Делаем элементарные :

1) Большую дробь переносим вправо. При переносе плюс меняем на минус. Чтобы не рисовать минус перед самой дробью, я просто поменяю все знаки в числителе. Слева в числителе было 4ac-b 2 , а после переноса станет -( 4ac-b 2 ) , т.е. b 2 -4 ac . Что-то знакомое, не находите? Да! Дискриминант, он самый…) Будет вот так:

2) Очищаем квадрат скобок от коэффициента. Делим обе части на "а ". Слева, перед скобками, буква а исчезает, а справа уходит в знаменатель большой дроби, превращая его в 4 a 2 .

Получается вот такое равенство:

У вас не так вышло? Тогда тема " " – для вас. Срочно туда!

Следующим шагом извлекаем корень . Нас же икс интересует, верно? А икс под квадратом сидит… Извлекаем по правилам извлечения корней, разумеется. После извлечения получится вот это:

Слева квадрат суммы исчезает и остаётся просто сама эта сумма. Что и требуется.) А вот справа появляется плюс/минус . Ибо наша здоровенная дробь, несмотря на её устрашающий вид, это просто какое-то число . Дробное число. Зависящее от коэффициентов a , b , c . При этом корень из числителя этой дроби красиво не извлекается, там разность двух выражений. А вот корень из знаменателя 4 a 2 вполне себе извлекается! Получится просто 2 a.

"Хитрый" вопрос на засыпку: имел ли я право, извлекая корень из выражения 4 a 2 , давать ответ просто 2а? Ведь правило извлечения корня из квадрата обязывает ставить знак модуля, т.е. 2|a| !

Подумайте, почему знак модуля я всё-таки опустил. Очень полезно. Подсказка: ответ кроется в знаке плюс/минус перед дробью.)

Остались сущие пустяки. Обеспечиваем слева чистый икс. Для этого маленькую дробь переносим вправо. Со сменой знака, ясен перец. Напоминаю, что знак в дроби можно менять где угодно и как угодно. Хотим перед дробью поменяем, хотим в знаменателе, хотим в числителе. Я поменяю знак в числителе . Было + b , стало – b . Надеюсь, возражений нет?) После переноса станет так:

Складываем две дроби с одинаковыми знаменателями и получаем (наконец-то!):

Ну? Что тут сказать? Вау!)

Полезная вещь четвёртая – студентам на заметку!

А теперь плавненько переместимся из школы в ВУЗ. Вы не поверите, но выделение полного квадрата в высшей математике тоже нужно!

Например, такое задание:

Найти неопределённый интеграл:

С чего начинать? Прямое применение не катит. Только выделение полного квадрата и спасает, да…)

Кто не умеет выделять полный квадрат, тот навсегда зависнет на этом несложном примере. А кто умеет, тот выделяет и получает:

x 2 +4 x +8 = (x +2) 2 +4

И теперь интеграл (для знающих) берётся одной левой!

Здорово, правда? И это не только интегралы! Я уж молчу про аналитическую геометрию, с её кривыми второго порядка – эллипсом, гиперболой, параболой и окружностью .

Например:

Определить тип кривой, заданной уравнением:

x 2 + y 2 -6 x -8 y +16 = 0

Без умения выделять полный квадрат задание не решить, да… А ведь пример проще некуда! Для тех, кто в теме, разумеется.

Группируем в кучки члены с иксом и с игреком и выделяем полные квадраты по каждой переменной. Получится:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y ) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y +16)-16 = -16

(x -3) 2 + (y -4) 2 = 9

(x -3) 2 + (y -4) 2 = 3 2

Ну и как? Узнали, что за зверь?) Ну, конечно! Окружность радиуса тройка с центром в точке (3; 4).

И все дела.) Полезная штука – выделение полного квадрата!)