Статическая вероятность события. Классическое и статистическое определение вероятности

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n 3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n 3 /n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(w i) определяется как предел относительной частоты появления исхода w i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

где m n (w i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w i .

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности события, кроме статистического определения, найти невозможно или крайне трудно.

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок . Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;

2) из принадлежности и этой системе следует принадлежность A i A j этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W - некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А- подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A 1 и A 2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A 1 \ A 2 и принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А 1 , А 2 ,¼, А n , ¼принадлежат Á, то их счётное объединение (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

2) если события A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ несовместны, то

Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества W.

Геометрическая вероятность

В одном специальном случае дадим правило расчёта вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры s (сигма малая), являющейся частью фигуры S, то

где s – площадь фигуры s, S - площадь фигуры S. Здесь, естественно, подразумевается, что фигуры S и s имеют площади. В частности, например, фигура s может представлять собой отрезок прямой линии, с площадью, равной нулю.

Заметим, что в этом определении вместо плоской фигуры S можно рассматривать промежуток S, а вместо её части s – промежуток s, целиком принадлежащий промежутку s, и вероятность представлять как отношение длин соответствующих промежутков.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x - время прихода первого в столовую, а y - время прихода второго .

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y - x £ 1/6 (10 минут– это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x³y), то встреча произойдет при условии 0 £ x – y £ 1/6..

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области s, изображенной на рисунке7 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Искомая вероятность p равна отношению площади области s к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области s можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке7. Отсюда следует:

Задачи с решениями.

На шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета не попадёт ни на одну границу клетки.

Задача II.

Через реку шириной 100 м перекинут мост. В некоторый момент, когда на мосту находятся два человека, мост рушится, и оба они падают в реку. Первый умеет плавать и спасётся. Второй плавать не умеет, и спасётся, только если упадёт не далее 10-ти метров от берега или не далее, чем в 10-ти метрах от первого. Какова вероятность, что второй человек спасётся?

Задача III.

Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной в 2 м. едет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он не подорвется на мине?

Задача VI.

На промежутке (0; 2) случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того, что квадрат большего числа меньше, чем меньшее число

На отрезок бросаются наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник?

Задача VI.

На отрезок бросают наудачу три точки, одну за другой. Какова вероятность того, что третья по счёту точка упадёт между двумя первыми?

Задача I. Положение монеты на шахматной доске полностью определяется положением её геометрического центра. Всё множество исходов можно изобразить в виде квадрата S со стороной 5. Всё множество благоприятных исходов тогда изображается в виде квадрата s, лежащего внутри квадрата S, как это изображено на рисунке 1.

Искомая вероятность тогда равна отношению площади малого квадрата к площади большого квадрата, то есть, 4/25

Задача II. Обозначим через х расстояние от левого берега реки до точки падения первого человека, а через у – расстояние от левого берега до точки падения второго человека. Очевидно, что и х, и у принадлежат промежутку (0;100). Таким образом, можно заключить, что всё множество исходов можно отобразить на квадрат, левый нижний угол которого лежит в начале координат, а правый верхний – в точке с координатами (100;100). Две полосы: 0x, то есть второй упал ближе к правому берегу, чем первый, то для того, чтобы он был спасён, должно выполняться условие у<х+10. Если ух–10. Из сказанного следует, что все благополучные для второго человека исходы отображаются в заштрихованную область на рисунке 2. Площадь этой области легче всего подсчитать, вычитая из площади всего квадрата площади двух незаштрихованных треугольников, что даёт в результате 10000–6400=3600. Искомая вероятность равна 0,36.

Задача III.

По условию задачи положение танка на промежутке между двумя соседними минами полностью определяется положением прямой линии, равноотстоящей от бортов танка. Эта линия перпендикулярна линии, по которой установлены мины, и танк подрывается на мине, если эта линия расположена ближе, чем в 1-м метре от края промежутка. Таким образом, всё множество исходов отображается в промежуток длиной 15, а множество благоприятных исходов отображается в промежуток длиной 13, как показано на рисунке 3, Искомая вероятность равна 13/15.

Задача IV.

Обозначим одно из чисел х, а другое – у. Всё множество возможных исходов отображается в квадрат ОBCD , две стороны которого совпадают с осями координат и имеют длину, равную 2, как показано на рисунке 4. Допустим, что у–меньшее число. Тогда множество исходов отображается в треугольник ОCD с площадью, равной 2. Выбранные числа должны удовлетворять двум неравенствам:

у<х, у>х 2

Множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам отображается в заштрихованную область на рисунке 4. Площадь этой области определяется как разность площади треугольника OEG, равной 1/2, и площади криволинейного треугольника OFEG. Площадь s этого криволинейного треугольника определяется формулой

и равна 1/3. Отсюда получаем, что площадь заштрихованной фигуры OEF равна 1/6. Таким образом, искомая вероятность равна 1/12.

Пусть длина отрезка равна l. Если принять за х и у расстояния от левого конца отрезка до точек, о которых говорится в условии задачи, то множество всех исходов можно отобразить на квадрат со стороной l, одна из сторон которого лежит на координатной оси х, а другая – на координатной оси у. Если принять условие у>х, то множество исходов отобразится на треугольник OВС, изображенный на рисунке 5. Площадь этого треугольника равна l 2 /2. Полученные отрезки будут иметь длины: х, у–х и l-у. Теперь вспомним геометрию. Из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Это условие в нашем случае приводит к системе трёх неравенств

Первое неравенство преобразуется к виду хl/2, а третье неравенство – к виду у<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Задача VI.

Примем длину отрезка за l. Пусть расстояние от левого конца отрезка до первой точки равно х, до второй точки – у, а до третьей точки – z. Тогда всё множество исходов отображается в куб, три ребра которого лежат на осях х, у и z прямоугольной системы координат, и с ребром длиной l. Допустим, что у>х. Тогда множество исходов отобразится в прямую призму АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке 6. Условие z>x означает, что все исходы будут отображаться в область, лежащую выше плоскости AD 1 C 1 B, показанной на рисунке 7. Эта плоскость Теперь все допустимые исходы будут отображаться в пирамиду с квадратом АА 1 В 1 В в основании и с высотой В 1 С 1 . Все исходы, удовлетворяющие условию z

Задачи для самостоятельного решения.

1. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа. Ответ: 139/1152.

2. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту - зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? Ответ: 2/3

3. На бесконечную шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета расположится не более чем в двух клетках шахматной доски. Ответ: 16/25.

4. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он остроугольный? Ответ: 1/4.

5. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он прямоугольный? Ответ: 0.

6. Стержень длины а наудачу разломан на три части. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а/4. Ответ: 1/16.

Как было сказано выше, классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии. Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи в этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Предварительно введем понятие относительной частоты.

Относительной частотой события , или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда

где n – общее число опытов; m – число опытов, в которых появилось событие А .

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится 2 раза (частота 0,2), при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Статистическое определение вероятности: вероятностью события называют число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Свойство устойчивости частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся опытом человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Между частотой события и его вероятностью существует глубокая связь, которую можно выразить так: когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике.

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Для того чтобы преодолеть этот недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Допустим, что на плоскости задана квадрируемая область G , т.е. область, имеющая площадь S G . В области G содержится область g площади S g . В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и независящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – «попадание брошенной точки в область g », тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G – черезmes G ; пусть также А – событие «попадание брошенной точки в область g , которая содержится в области G ». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G , определяется формулой

.

Задача . В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт в квадрат?

Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда площадь круга равна . Диагональ квадрата равна , тогда сторона квадрата равна , а площадь квадрата равна . Вероятность искомого события определяется как отношение площади квадрата к площади круга, т.е. .

Контрольные вопросы

1. Что называется испытанием (опытом)?

2. Что называется событием?

3. Какое событие называется а) достоверным? б) случайным? в) невозможным?

4. Какие события называются а) несовместными? б) совместными?

5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?

6. Что называется полной группой случайных событий?

7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

8. Образуют ли события А и полную группу?

9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?

10. Какое определение вероятности называется классическим?

11. В каких пределах заключена вероятность любого события?

12. При каких условиях применяется классическая вероятность?

13. При каких условиях применяется геометрическая вероятность?

14. Какое определение вероятности называется геометрическим?

15. Что называется частотой события?

16. Какое определение вероятности называется статистическим?

Контрольные задания

1. Из букв слова «консерватория» наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная. Найти вероятность, что это буква «о».

2. На одинаковых карточках написаны буквы «о», «р», «с», «т». Найти вероятность того, что на разложенных наудачу в ряд карточках появится слово «трос».

3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрывается 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

4. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках больше 6.

5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово «молот»?

6. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры таковы, что их произведение равно нулю.

8. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число является делителем 30.

9. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Найти вероятность того, что это число кратно 3.

10. Наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Найти вероятность того, что это число простое.

Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Геометрическая вероятность - один из способов задания вероятности; пусть Ω - ограниченное множество евклидова пространства, имеющее объем λ(Ω) (соответственно длину или площадь в одномерной или двумерной ситуации), пусть ω - точка, взятая случайным образом из Ω, пусть вероятность, что точка будет взята из подмножества пропорциональна его объёму λ(x), тогда геометрическая вероятность подмножества определяется как отношение объёмов: Геометрическое определение вероятности часто используется в методах Монте-Карло, например, для приближённого вычисления значений многократных определённых интегралов.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)n

Вероятность появления хотя бы одного события. Пример. Формула Бейеса.

Вероятность сделать хотя бы одну ошибку на странице тетради составляет р=0,1. В тетради 7 написанных страниц. Какова вероятность Р, что в тетради есть хотя бы одна ошибка?

Вероятность наступления события А, состоящего из событий А1, А2,…, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

Вероятность противоположного события q = 1 - p.

В частности, если все события имеют одинаковую вероятность равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522

Ответ: 0,522

Формула Бейеса.

Предположим, что производится некоторый опыт, причем об условиях его проведения можно высказать n единственно возможных и несовместных гипотез , имеющих вероятности Пусть в результате опыта может произойти или не произойти событие А, причем известно, что если опыт происходит при выполнении гипотезы то Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало известным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей На основании соотношений (4) и (5) имеем откуда Но по формуле полной вероятности Поэтому Формула (12) называется формулой Бейеса*.

6.Формула Бернулли. Примеры.

Формула Бернулли - формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений - сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: где. .

Доказательство

Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью Обозначим наступление события в испытании с номером Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по Это количество сочетаний находится по формуле: При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

Здесь -функция Лапласа Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

Пример. Найти вероятность того, что событие А насту пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: где х = (k-np)/ √npq.

Найдем значение х По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность

P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.

Числовые характеристики дискретных величин. Примеры

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Теоретические моменты. Примеры.

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Поэтому мы начнем с обсуждения этих понятий.

Пусть -- независимая выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра Теоретическим моментом -го порядка называется функция где -- случайная величина с функцией распределения . Особо отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров, коль скоро распределение зависит от этих параметров. Будем считать, что математические ожидания существуют, по крайней мере, для Эмпирическим моментом -го порядка называется Отметим, что по своему определению эмпирические моменты являются функциями от выборки. Заметим, что -- это хорошо нам известное выборочное среднее.

Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:

явно вычислить теоретические моменты , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных

В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.

решить систему (35) относительно переменных Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

12.Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме - Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышева в теории меры

Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей - неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство

Формулировки

Пусть - пространство с мерой. Пусть также

Суммируемая на функция

Тогда справедливо неравенство:

В более общем виде:

Если - неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения то В терминах пространства Пусть Тогда

Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда где Если , где - стандартное отклонение и , то получаем В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Закон больших чисел

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.

В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

Математическая формулировка

Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы) при условиях Иногда на также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя её во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции ). Такую задачу называют «основной» или «стандартной» в линейном программировании.

Геометрический способ решения задач линейного программирования для двух переменных. Пример.

Областью решения линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей соответствует этому неравенству, нужно привести его к виду или Тогда искомая полуплоскость в первом случае расположена выше прямой a0 + a1x1 + a2x2 = 0, а во втором - ниже нее. Если a2=0, то неравенство (8) имеет вид ; в этом случае получим либо - правую полуплоскость, либо - левую полуплоскость.

Областью решений системы неравенств является пересечение конечного числа полуплоскостей, описываемых каждым отдельным неравенством. Это пересечение представляет собой многоугольную область G. Она может быть как ограниченной, так и неограниченной и даже пустой (если система неравенств противоречива).
Рис. 2

Область решений G обладает важным свойством выпуклости. Область называется выпуклой, если произвольные две ее точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим данной области. На рис. 2 показаны выпуклая область G1 и невыпуклая область G2. В области G1 две ее произвольные точки А1 и В1 можно соединить отрезком, все точки которого принадлежат области G1. В области G2 можно выбрать такие две ее точки А2 и В2, что не все точки отрезка А2В2 принадлежат области G2.

Опорной прямой называется прямая, которая имеет с областью по крайней мере одну общую точку, при этом вся область расположена по одну сторону от этой прямой. На рис. 2 показаны две опорные прямые l1 и l2, т. е. в данном случае прямые проходят соответственно через вершину многоугольника и через одну из его сторон.

Аналогично можно дать геометрическую интерпретацию системы неравенств с тремя переменными. В этом случае каждое неравенство описывает полупространство, а вся система - пересечение полупространств, т. е. многогранник, который также обладает свойством выпуклости. Здесь опорная плоскость проходит через вершину, ребро или грань многогранной области.

Основываясь на введенных понятиях, рассмотрим геометрический метод решения задачи линейного программирования. Пусть заданы линейная целевая функция f = c0 + c1x1 + c2x2 двух независимых переменных, а также некоторая совместная система линейных неравенств, описывающих область решений G. Требуется среди допустимых решений найти такое, при котором линейная целевая функция f принимает наименьшее значение.

Положим функцию f равной некоторому постоянному значению С: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Это значение достигается в точках прямой, удовлетворяющих уравнению При параллельном переносе этой прямой в положительном направлении вектора нормали n(c1,c2) линейная функция f будет возрастать, а при ее переносе в противоположном направлении - убывать.

Предположим, что прямая, записанная в виде (9) , при параллельном переносе в положительном направлении вектора n первый раз встретится с областью допустимых решений G в некоторой ее вершине, при этом значение целевой функции равно С1, и прямая становится опорной. Тогда значение С1 будет минимальным, поскольку дальнейшее движение прямой в том же направлении приведет к увеличению значения f.

Таким образом, оптимизация линейной целевой функции на многоугольнике допустимых решений происходит в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, соответствующими данной целевой функции. При этом пересечение может быть в одной точке (в вершине многоугольника) либо в бесконечном множестве точек (на ребре многоугольника).

Алгоритм симплекс-метода для решения общей задачи линейного программирования. Таблица.

Алгоритмы решения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов, был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном, разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП - методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования, разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

24.Особые случаи в симплекс-методе: вырожденное решение, бесконечное множество решений, отсутствие решения. Примеры .

Использование метода искусственного базиса для решения общей задачи линейного программирования. Пример.

Метод искусственного базиса.

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

max{F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0}.

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» Rj следующим образом:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

При введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F = ∑cixi, а другая – для составляющей M ∑Rj Рассмотрим процедуру решения задачи на конкретном примере.

Пример 1. Найти максимум функции F(x) = -x1 + 2x2 - x3 при ограничениях:

x1≥0, x2≥0, x3≥0 .

Применим метод искусственного базиса. Введем искусственные переменные в ограничения задачи

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2 ;

Функция цели F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).

Выразим сумму R1 + R2 из системы ограничений: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, тогда F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .

При составлении первой симплекс-таблицы (табл. 1) будем полагать, что исходные переменные x1, x2 , x3 являются небазисными, а введенные искусственные переменные – базисными. В задачах максимизации знак коэффициентов при небазисных переменных в F- и M-строках изменяется на противоположный. Знак постоянной величины в M-строке не изменяется. Оптимизация проводится сначала по M-строке. Выбор ведущих столбца и строки, все симплексные преобразования при испльзовании метода искусственного базиса осуществляются как в обычном симплекс-методе. Максимальный по абсолютному значению отрицательный коэффициент (-4) определяет ведущий столбец и переменную x3, которая перейдет в базис. Минимальное симплексное отношение (2/3) соответствует второй строке таблицы, следовательно, переменная R2 должна быть из базиса исключена. Ведущий элемент обведен контуром.
В методе искусственного базиса искусственные переменные, исключенные из базиса, в него больше не возвращаются, поэтому столбцы элементов таких переменных опускаются. Табл. 2. сократилась на 1 столбец. Осуществляя пересчет этой таблицы, переходим к табл. 3., в которой строка M обнулилась, ее можно убрать. После исключения из базиса всех искусственных переменных получаем допустимое базисное решение исходной задачи, которое в рассматриваемом примере является оптимальным:

x1=0; x2=7/9; Fmax=8/9.

Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом. Рассмотрим пример, в котором присутствуют ограничения всех типов:≤,=,≥

Двойственные симметричные задачи линейного программирования. Пример.

Определение двойственной задачи

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции при условиях

называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.

2. Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.

5. Если переменная xj исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Связь между переменными прямой и двойственной задачи. Пример.

30.Экономическая интерпретация двойственных задач. Значение нулевых оценок в решении экономической задачи. Примеры .

Исходная задача I имела конкретный экономический смысл: основные переменные хi обозначали количество произведенной продукции i-го вида, дополнительные переменные обозначали количество излишков соответствующего вида ресурсов, каждое из неравенств выражало собой расход определенного вида сырья в сравнении с запасом этого сырья. Целевая функция определяла прибыль при реализации всей продукции. Предположим теперь, что предприятие имеет возможность реализовывать сырье на сторону. Какую минимальную цену надо установить за единицу каждого вида сырья при условии, чтобы доход от реализации всех его запасов был не меньше дохода от реализации продукции, которая может быть выпущена из этого сырья.

Переменные у1, у2, у3 будут обозначать условную предполагаемую цену за ресурс 1, 2, 3 вида соответственно. Тогда доход от продажи видов сырья, расходуемых на производство одной единицы продукции I, равен: 5у1 + 1· у3. Т. к. цена продукции I типа равна 3 ед., то 5у1 + у3 3, в силу того, что интересы предприятия требуют, чтобы доход от продажи сырья был не меньше, чем от реализации продукции. Именно в силу такого экономического толкования система ограничений двойственной задачи принимает вид: А целевая функция G = 400y1 + 300y2 + 100y3 подсчитывает условную суммарную стоимость всего имеющегося сырья. Понятно, что в силу I теоремы двойственности F(x*) = G(y*) равенство означает, что максимальная прибыль от продажи всей готовой продукции совпадает с минимальной условной ценой ресурсов. Условные оптимальные цены уi показывают наименьшую стоимость ресурсов, при которой выгодно обращать эти ресурсы в продукцию, производить.

Еще раз обратим внимание на то, что уi - это лишь условные, предполагаемые, а не реальные цены на сырье. Иначе читателю может показаться странным, что например, у1* = 0. Этот факт вовсе не означает, что реальная цена первого ресурса нулевая, ничего бесплатного в этом мире нет. Равенство нулю условной цены означает лишь, что этот ресурс не израсходован полностью, имеется в излишке, недефицитен. Действительно, посмотрим на первое неравенство в системе ограничений задачи I, в котором подсчитывается расход первого ресурса: 5х1* + 0,4х2* + 2х3* + 0,5х4* = 66 < 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

Если перед производителем стоит вопрос, "выгодно ли производить какую-либо продукцию при условии, что затраты на единицу продукции составят 3, 1, 4 единиц 1, 2, 3-го видов сырья соответственно, а прибыль от реализации равна 23 единицам", то в силу экономического истолкования задачи ответить на этот вопрос несложно, поскольку затраты и условные цены ресурсов известны. Затраты равны 3, 1, 4, а цены у1* = 0, у2* = 1, у3* = 4. Значит, можно посчитать суммарную условную стоимость ресурсов, необходимых для производства этой новой продукции: 3 · 0 + 1 · 1 + 4 · 4 = 17 < 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31.Использование оптимального плана и симплекс-таблицы для определения интервалов чувствительности исходных данных.

32.Использование оптимального плана и симплекс-таблицы для анализа чувствительности целевой функции. Пример.

Транспортная задача и ее свойства. Пример.

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .

Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .

Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события вычисляется по формуле

где - число появления события в серии из опытов (испытаний).

Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Классическое определœение вероятности.

Различные определœения вероятности.

Алгебра событий.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определœением вероятности следует считать классическое, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определœения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

По этой причине об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может произойти при осуществлении эксперимента͵ случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С – случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события принято называть отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) =, Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m =9, n =9+6=15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определœения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определœение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Вместе с тем, слабая сторона классического определœения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. При этом такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определœением вероятности пользуются и другими определœениями вероятности.

Статистической вероятностью события А принято называть относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Статистический способ определœения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые бывают воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определœения, сохраняются и при статистическом определœении вероятности.

Понятие и виды. Классификация и особенности категории "Статистическое определение вероятности." 2017, 2018.

- Статистическое определение вероятности.

Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило ровно M раз. Отношение называется относительной частотой события A и обозначается. За вероятность события A принимается число, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты: . ... .

- Статистическое определение вероятности.

Относительная частота. Пусть A есть случайное событие, которое может наступить в данном опыте. Напомним, что мы рассматриваем опыты, удовлетворяющие условиям а),б) пункта 2. Предположим, что после повторения опыта N раз, событие A произошло M раз. Определение... .

- Статистическое определение вероятности

Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события с неравновозможными исходами (например, игральная кость «нечестная», монета сплющена и т.д.). В таких случаях может помочь... [читать подробнее] .

- Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относитель-ная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классичес-кое определение вероятности. Основные свойства вероятности.... .