Понятие о непрерывности функции производная. Непрерывность дифференцируемой функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b , непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a , b ], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ], то найдётся хотя бы одна точка x 1 Î [a , b ] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x 1) ≥ f(x) . Аналогично найдётся такая точка x 2 , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x 1) ≤ f(x) .

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x 2 и x 2 ".

Замечание . Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a , b ). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка x = C , в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x) , соответствующие концам отрезка [a , b ] лежат по разные стороны от оси Ox , то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox . Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и f(a) = A , f(b) = B . Тогда для любого числа C , заключённого между A и B , найдётся внутри этого отрезка такая точка C Î [a , b ], что f(c) = C .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x) . Пусть f(a) = A , f(b) = B . Тогда любая прямая y = C , где C – любое число, заключённое между A и B , пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C , при котором f(c) = C .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x 0 и новое x .

Разность x– x 0 называется приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается Δx . Таким образом, Δx = x – x 0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x 0 +Δx , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x 0 значение функции было f(x 0 ), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x 0 +Δx) .

Разность y – y 0 = f(x) – f(x 0 ) называется приращением функции y = f(x) в точке x 0 и обозначается символом Δy . Таким образом,

Обычно исходное значение аргумента x 0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y 0 = f(x 0 ) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δx также будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx →0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x 0 и обозначают f "(x 0). Итак,

Производной данной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx , когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x . Эта функция обозначается f "(x )

Производная обозначается символами f "(x),y ", . Конкретное значение производной при x = a обозначается f "(a ) или y "| x=a .

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило :

Примеры.

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t , где s – путь, пройденный к моменту времени t , v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t , т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t 0 . К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0 .

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δt . Ему соответствует пройденный путь s=s(t 0 + Δt ). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t 0 + Δt) –s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt . Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt .

Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0 +Δt , когда Δt →0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M 0 M . Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т , то прямая М 0 Т называется касательной к кривой в данной точке М 0 .

Т.о., касательной к кривой в данной точке М 0 называется предельное положение секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точке М 0 .

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y 0 =f(x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0 ; y 0). Дадим аргументу x 0 приращение Δх . Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 +Δ y=f(x 0 –Δx) . Получаем точку М(x 0 +Δx ; y 0 +Δy). Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox . Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δx →0, то в силу непрерывности функции Δу →0, и поэтому точка М , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 . Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0 , а угол φ→α при Δx →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox . Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f "(x) = tg α .

Т.о., геометрически у "(x 0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при данном значении аргумента x , производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М 0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М (-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x 2)" = 2х . Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y "| x=-1 = – 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x 0 , если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а ; b ] или интервала (а ; b ), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а ; b ] или соответственно в интервале (а ; b ).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x 0 , то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство . Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx →0. Но тогда

Δy =f "(x 0 ) Δx +αΔx => Δy →0 при Δx →0, т.е f(x) – f(x 0) →0 при x →x 0 , а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx →0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx →0–0 и Δx →0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к 1 и к 2 . Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx →0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Пусть функция у = f{x) определена на интервале (а, 6). Возьмем некоторое значение х € {а, Ь). Дадим х приращение Дя любое, но такое, чтобы х + Дя € (а, 6). Тогда функция у = f(x) получит прирашение Определение. Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х £ (а, 6), если прирашение функции отвечающее прирашению Ах аргумента, можно представить в виде где А - некоторое число, которое не зависит от Ах (но, вообше говоря, зависит Пример. Рассмотрим функцию у = х2. Во всякой то»«е х и при любом Дх имеем Отсюда, в силу определения, функция у = х2 дифференцируема в любой точке х, причем Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие дифференци-руемости функции. Теорема 1. Для того чтобы функция у = fix) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы fix) в этой точке имела конечную производную f\x). Необходимость. Пусть функция у = fix) дифференцируема в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная fix). Действительно, из дифференцируемости функции у = fix) в точке х следует, что приращение функции Ду, отвечающее приращению Дх аргумента, можно представить в виде Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала где величина А для данной точки х постоянна (не зависит от. По теореме о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, отсюда следует, что Существование производной доказано. Одновременно мы установили, что Достаточность. Пусть функция в точке х имеет конечную производную /"(х). Докажем, что fix) в этой точке дифференцируема. Действительно, существование производной /"(х) означает, что при Дх 0 существует предел отношения и что Отсюда, в силу теоремы о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, вытекает, что где, значит, Так как в правой части формулы (2) величина х) не зависит от, то равенство (2) доказывает, что функция у = /(х) дифференцируема в точке Теорема 1 устанавливает, что для функции /(х) дифференцируемостьв данной точке х и сушествованйе конечной производной в этой точке - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференцированием этой функции. В дальнейшем, когда мы говорим, что функция /(х) имеет производную в данной точке, мы подразумеваем наличие конечной производной, если не оговорено противное. 2.1. Непрерывность дифференцируемой функции Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке. Действительно, если функция у = /(х) дифференцируема в точке х, то приращение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, может быть представлено в виде где А - постоянная для данной точки х, а а 0 при Дх 0. Из равенства (3) следует, что Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала что и означает, согласно определению, непрерывность функции у = /(х) в данной точке х. Обратное заключение неверно: из непрерывности функции /(х) в некоторой точке х не следует дифференцируемость функции в этой точке. Пример. Например, функция /(х) = |х| непрерывна в точке х = 0, но, как мы показали выше (, не имеет производной в точке х = 0 и потому не является дифференцируемой в этой точке. Приведем еше пример. Пример. Функция непрерывна на интервале (-о#, +о#). Для всех х # 0 она имеет производную, но в точке х = 0 она не имеет ни правой, ни левой производной, потому что величина не имеет предела, как при В приведенных примерах производная отсутствует лишь в одной точке. Так и думали в XVIII и начале XIX в., когда считали, что непрерывная функция может не иметь производной самое большее в конечном числеточек. Позжебыли построены (Больца-но, Вейерштрасс, Пеано, Ван дер Варден) примеры непрерывных на отрезке [а, Ь\ функций, не имеющих производной ни в одной точке отрезка. Понятие дифференциала функции Пусть функция у - /(х) дифференцируема в точке х, т.е. прирашение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, представимо в виде Определение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, точасть приращения функции А Дх при Аф 0 называется дифференциаюм функции у = /(х) и обозначается символом dy или df{x): В случае А Ф 0 дифференциал функции называют главной линейной частью приращения Ду функции, поскольку при Дх 0 величина а(Дх)Дх в равенстве (4) есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем А Дх. В случае, когда >1 = 0, считают, что дифференциал dy равен нулю. В силу теоремы I имеем А = /"(х), так что формула (5) для dy принимает вид. Наряду с понятием дифференциала функции вводят понятие дифференциала dx независимой переменной х, полагая по определению Тогда формулу для дифференциала функции у = /(х) можно записать в более симметричной форме Отсюда в свою очередь имеем: /"(х) = Это еще одно обозначение производной (iобозначение Лейбница), которую можно рассматривать как дробь - отношение дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx. Введем еше одно понятие. Будем говорить, что функция у = /(х) дифференцируема на интервале (а, Ь), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала Геометрический смысл дифференциала Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = /(х),гдс /(х) - дифференцируемая в точке х € (а, 6). Проведем касательную к этой кривой в точке М(х,у) и отметим на кривой еще точку М\ с абсциссой х -f dx. Как известно, /"(х) есть угловой коэффициент касательной, т.е. Рассмотрим треугольник MPQ (рис.8). Из рисунка видно, что Таким образом, дифференциал dy = f"(x)dx функции у = f(x) есть приращение ординаты касательной, проведенной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой ж, при переходе от точки касания к точке с абсциссой х + dx.

Теорема: Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ< х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Производная сложной функции

Теорема: Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и

.

где и - б.м.ф. Тогда

и , где б.м.ф. в точке .

28. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0 , то производная частного этих функций вычисляется по формуле

29. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически.

ТЕОРЕМА (производная обратной функции)

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке и имеющая в точке производную . Тогда обратная функция имеет производную в точке и

.

ДОК.

= .

Теорема. (производная функции, заданной параметрически) Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функцииx=φ(t) , y = ψ(t) дифференцируемы и φ"(t) ≠ 0 , тогда

Доказательство

Так как функция x = φ(t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить черезx : y = ψ(Ф (x)) . Так как функция x = φ(t) дифференцируема, то, по теореме 5 , функция t = Ф(x) также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем чтд

Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y"" x :

Окончательно получаем

30. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Если f определена на интервале (a,b)®R, диф-ма в " точке xÎ(a,b) то на (a,b) возникает новая функция f’ :(a,b)®R, значение которой в точке x=f’ (x). Функция f’ сама может иметь производную (f’ )’ : на (a,b)®R она по отношению к исходной функции называется второй производной от f и обозначается f” (x), d 2 f(x)/dx 2 или f” xx (x), f” x 2 (x); Опр . Если определена производная f (n -1) (x) порядка n-1 от f то производная порядка n определяется формулой f (n) (x)=(f n -1))’(x). Для нее принято обозначение f (n) (x)=d n f(x)/dx n – ф-ла Лейбница , f (0) (x):=f(x).

31. Понятие дифференцируемости функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

1.Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f" (x )D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

2. Дифференцируемость. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение ∆y в этой точке может быть представлено в виде: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, где A не зависит от ∆x, α и α(∆x) – бесконечно малая функция относительно ∆x при ∆x→0.

32. Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику.

Пусть f определена на (a,b) и непрерывна в точке x 0 Î(a,b), пусть y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxÎ(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 )Если $ кон. предел lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 то прямая y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2) назыв.

(наклонной) касательной к графику f в точке (x 0 ,y 0);

2 ) Если $ бесконечный предел

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, то прямая x=x 0 – вертикальная касательная к графику в точке (х 0 ,у 0);

При х=х 0 (2) – предельное положение (1) т.о. предельное положение секущей М 0 М

Dх®0 это касательная y=f(x) в точке х 0 , т.к. lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f’ (x 0) то уравнение

касательной имеет вид y=f’ (x 0)(x-x 0)+ y 0 , где y 0 =f(x 0) (3). Из 3 получаем что производная в точке х 0 =tga, a - угол между касательной и осью Ох, первое слагаемое f’ (x 0)(x-x 0)=f’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 является диф-ом dy в точке х 0 Þ y-y 0 =dy т.о. дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

3 )Если lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, то касательной является прямая х=х 0 при этом в точке х 0 бескон. производная может существовать или не существовать.

33. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае .

Дифференциалы высших порядков . Диф-ал от диф-ла первого порядка dy=f’(x)dx функции y=f(x) (рассматриваемого только как ф-и переменной х т.е. приращение аргумента х (dx) принимается постоянным, при условии что повторное приращ-е переменной х совпадает с начальным) называется вторым диф-ом d 2 f(x):d(df(x))=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 отсюда f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; Опр . Диф-ом n-го порядка n=1,2… называется дифференциалом от дифференциала порядка n-1 при условии что в диф-ле берутся одни и те же приращения dx, независимого от х. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) не трудно видеть, что d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x)=d n f(x)/dx n .

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f (x ), но и дифференциал dx . Следовательно

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

34. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума (теорема Ферма).

Точки экстремума

Экстре́мум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума , а если максимум - точкой максимума . В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) .

Точка x 0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x ), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х 0 выполняется неравенство

f (x ) < f (x 0) (f (x ) > f (x 0))

при х ≠ x 0 .
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f (x ) < f (x 0) (f (x ) > f (x 0)) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x 0 .

3 Определение производной функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует (конечный) предел отношения то f(x) называется дифференцируемой точке х 0, а сам предел называется производной функции f(x) в точке х 0 и обозначается f "(x 0), то есть Обозначим x = x – x 0 – приращение аргумента при переходе из точки х 0 в точку х, а y = f(x 0 + x) – f(x 0) – соответствующее приращение функции. Тогда производная функции f(x) в точке х 0 предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

4 Пример 1. Приведем примеры вычисления производных некоторых простейших элементарных функций, исходя из определения производной. y = a x (0 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то">

0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." class="link_thumb"> 5 5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R. 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R." title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R."> title="5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х | 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R.">

6 ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть существует Тогда Отсюда получим, что f (x) – f (x 0) = f "(x 0) (х – х 0) + (х – х 0)α(x) при х х 0. То есть f(x) непрерывна в точке x 0. Непрерывность дифференцируемой функции (1)

7 ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной. Пример 5. f (x) = х. Исследуем поведение f (x) в окрестности х 0 = 0. Здесь и f (x) f (0) = 0 при x 0. Т.е. функция непрерывна в точке х 0 = 0. Рассмотрим x y 0 Предел не существует, так как Итак, функция f (x) = х не имеет производной в точке х = 0, хотя непрерывна в этой точке

8 Пример x y 0 при х 0. при х 0. Т.е. f(x) непрерывна в точке х = 0. Т.е. f(x) не имеет производной в точке х = 0 и, следовательно, не дифференцируема в этой точке. Исследуем поведение f (x) в окрестности точки х = 0.

9 Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х 0. Тогда, согласно (1), ее приращение в точке х 0 можно записать в виде y = f(x 0 + x) – f(x 0) = f (x 0) х + о(x) при х. Дифференциал функции f (x 0) x – главная линейная относительно x часть приращения функции у = f(x) в точке х 0 называется дифференциалом функции в точке х 0 при приращении x и обозначается df(х 0 ; x) или df(х 0) или df или dу. y = f(x 0 + x) – f(x 0) = df(х 0 ; x) + о(x) при х. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная часть приращения, линейная относительно х. Бесконечно малая более высокого порядка, чем х. Теперь приращение функции можно записать так:

10 ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение х часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x 0 можно записать в виде df(х 0) = f "(x 0) dх. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx: dy = f "(x) dx. Отсюда, в частности, получается выражение для производной То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

11 Геометрический смысл производной и дифференциала Пусть функция у = f(x) определена в U(x 0) и дифференцируема в точке х 0. М0М0 М x0x0 x 0 + x y x y = f(x) y0y0 y 0 + у 0 L – секущая L 0 – касательная x y = f(x 0 + x) – f(x 0) при х в силу непрерывности функции. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М 0 называется предельное положение секущей L при х. y Если функция дифференцируема в точке х 0, то в уравнении секущей у/ х f (x 0) при х и уравнение касательной имеет вид у = у 0 + f (x 0) (х – х 0).

12 М0М0 М x0x0 x 0 + x dy = df(х 0 ; x) = f (x 0) x x y = f(x) f(x0)f(x0) f(x 0 + x) 0 x y F E EM = o(x) при x 0 L0L0 tg = f (x 0) Если же у/ х при х, то прямая х = х 0, получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной касательной к графику функции в точке М 0. Из уравнения касательной получим у – у 0 = f (x 0) (х – х 0) = df(х 0) – приращение ординаты касательной при переходе из точки х 0 в точку х. Нормалью к графику функции в точке М 0 называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку М 0. Ее уравнение имеет вид у = у 0 – 1/f (x 0) (х – х 0). L 1 – нормаль

13 Физические приложения производной и дифференциала Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то S "(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S "(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t. Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q "(t) = I – сила тока. Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N "(t) – скорость химической реакции.