Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых Тема: Параллельность прямых и плоскостей

На этом уроке мы повторим основные положения теории и решим более сложные задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей».
В начале урока вспомним определение прямой, параллельной плоскости и теорему-признак параллельности прямой и плоскости. Также вспомним определение параллельных плоскостей и теорему-признак параллельности плоскостей. Далее вспомним определение скрещивающихся прямых и теорему-признак скрещивающихся прямых, а также теорему о том, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. Сделаем вывод из этой теоремы - утверждение, что двум скрещивающимся прямым соответствует единственная пара параллельных плоскостей.
Далее решим несколько более сложных задач с использованием повторенной теории.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории. Решение более сложных задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

На этом уроке мы повторим основные положения теории и решим более сложные задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей» .

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пусть дана прямая а и плоскость (рис. 1). В плоскости лежит прямая b , которая параллельна прямой а . Из параллельности прямых а и b вытекает параллельность прямой а и плоскости .

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 9, 10 стр. 23

2. Три прямые попарно пересекаются. Может ли какая-нибудь плоскость быть параллельной всем этим прямым?

3. Через точку М можно провести только лишь одну прямую, параллельную плоскостям α и β. Параллельны ли эти плоскости?

4. Две трапеции имеют общую среднюю линию. Плоскость α проходит через меньшие основания трапеций, а плоскость β проходит через большие основания трапеций. Параллельны ли плоскости α и β?

5. ABCD - четырехугольник. Точка М лежит вне его плоскости. Лежат ли в одной плоскости середины отрезков МА, МВ, МС, М D ?

Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.

Для принадлежности прямых L 1:и L 2:одной плоскости  чтобы векторы М 1 М 2 ={x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 }, q 1 ={l 1 ;m 1 ;n 1 } и q 2 ={l 2 ;m 2 ;n 2 } были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М 1 М 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0(8)

Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямыхL 1 и L 2 , чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .

Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:

Направляющий вектор прямой L 1 –q 1 =(1;3;-2). Прямая L 2 задана как пересечение 2-х плоскостей α 1: х-у-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L 2 лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n 1 и n 2 . Следовательно, направляющий вектор s 2 является векторным произведением векторов n 1 и n 2 , т.е.q 2 =n 1 х n 2 ==-i -3j +2k .

Т.о. s 1 =- s 2 , значит прямые или параллельны, или совпадают.

Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М 0 (1;2;-1)L 1 в общие уравнения L 2: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М 0 L 2,

следовательно прямые параллельны.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) до прямой L, заданной каноническим уравнением L: можно вычислить при помощи векторного произведения.

Из канонического уравнения прямой следует, что точка М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0)L, а направляющий вектор прямойq =(l;m;n)

Построим параллелограмм на векторах q и М 0 М 1 . Тогда расстояние от точки М 1 до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=|q xМ 0 М 1 |=h|q |, то

h=(9)

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

L 1:и L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 и L 2 – скрещивающиеся

d=

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:

прямая и плоскость пересекаются в одной точке;

прямая и плоскость параллельны;

прямая лежит в плоскости.

Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим

α: Ах+Ву+Сz+D=0

Уравнения прямой дают точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0)L и направляющий векторq =(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n =(A;B;C).

1. Пересечение прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n· q ≠0 или, через их координаты,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Определим координаты точки М - точки пересечения прямой L и плоскости α .

Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , tR

Подставим эти соотношения в уравнение плоскости

А(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – известны, найдем параметр t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

если Am+Bn+Cp≠0, то уравнение имеет единственное решение, определяющее координаты точки М:

t М = -→(11)

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

Угол φ между прямой L:

с направляющим вектором q ={l;m;n} и плоскостью

: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормальным вектором n =(A;B;C) находится в пределах от 0˚ (в случае параллельности прямой и плоскости) до 90˚ (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). (Угол между вектором q и его проекцией на плоскость α).

– угол между векторами q и n.

Т.к. угол  между прямой L и плоскостью  является дополнительным к углу , то sin φ=sin(-)=cos =- (рассматривается абсолютная величина т.к. угол φ острый sin φ=sin(-) или sin φ=sin(+) в зависимости от направления прямой L)

Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:

Прямые совпадают;

Прямые параллельны (но не совпадают);

Прямые пересекаются;

Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.

Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)

Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)

Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.

Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):

Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.

Сведем все условия воедино:

Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.

Пример 6.4.

Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:

Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.

Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 46. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).

Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р , прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые 1 1 и 1 2 параллельные, то пишут 1 1 || 1 2 .

Таким образом, 1 1 || 1 2 , если, во-первых, существует плоскость р такая, что
1 1 р и 1 2 р и, во-вторых, или 1 1 1 2 = или 1 1 = 1 2 .

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.

Теорема . Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Пусть 1 1 || 1 2 и 1 2 || 1 3 . Нужно доказать, что 1 1 || 1 3

Если прямые 1 1 , 1 2 , 1 3 лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые 1 1 , 1 2 , 1 3 не лежат в одной плоскости.

Через прямые 1 1 и 1 2 проведем плоскость р 1 , а через 1 2 и 1 3 - плоскость р 2 (рис. 131).

Заметим, что прямая 1 3 содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости
р 1 .

Через прямую и точку М проведем плоскость р 3 , которая пересечется с плоскостью р 2 по некоторой прямой l . Докажем, что l совпадает с 1 3 . Доказывать будем «методом от противного».

Предположим, что прямая 1 не совпадает с прямой 1 3 . Тогда 1 пересекает прямую 1 2 в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р 3 проходит через точку А р 1 и прямую 1 1 р 1 и, следовательно, совпадает с плоскостью р 1 . Этот вывод противоречит тому, что точка М р 3 не принадлежит плоскости р 1 .
Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому 1 = 1 3 .

Таким образом, доказано, что прямые 1 1 и 1 3 лежат в одной плоскости р 3 . Докажем, что прямые 1 1 и 1 3 не пересекаются.

Действительно, если бы 1 1 и 1 3 пересекались, например, в точке В, то плоскость р 2 проходила бы через прямую 1 2 и через точку В 1 1 и, следовательно, совпадала бы с р 1 , что невозможно.

Задача. Доказать, что углы с сонаправленными сторонами имеют равные величины.

Пусть углы MAN и M 1 A 1 N 1 имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А 1 М 1 , а луч AN сонаправлен лучу A 1 N 1 (рис. 132).

На лучах AM и А 1 М 1 отложим равные по длине отрезки АВ и А 1 В 1 . Тогда

|| и |BB 1 | = |AA 1 |

как противоположные стороны параллелограмма.

Аналогично, на лучах AN и A 1 N 1 отложим равные по длине отрезки АС и А 1 С 1 . Тогда

|| и |CC 1 | = |AA 1 |

Из транзитивности параллельности следует, что || . А так как |BB 1 | = |CC 1 | , то BB 1 C 1 C - параллелограмм, и поэтому |ВС| = |B 1 C 1 |.
Следовательно, /\ ABC /\ А 1 В 1 С 1 и .