До сих пор мы рассматривали дифракцию сферических волн , изучая дифракционную картину в точке наблюдения, лежащей на конечном расстоянии от препятствия (дифракция Френеля ).

Тип дифракции, при котором дифракционная картина образуется параллельными пучками , называется дифракцией Фраунгофера . Параллельные лучи проявятся, если источник и экран находятся в бесконечности. Практически используется две линзы: в фокусе одной – источник света, а в фокусе другой – экран.

Хотя принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля, но практически именно этот случай важен, так как именно этот тип дифракции используется во многих дифракционных приборах (дифракционная решетка, например). Кроме того, здесь математический расчет проще и позволяет решать количественную задачу до конца (дифракцию Френеля мы рассматривали качественно).

Дифракция света на одной щели

Пусть в непрерывном экране есть щель: ширина щели , длина щели (перпендикулярно плоскости листа) (рис. 9.5). На щель падают параллельные лучи света. Для облегчения расчета считаем, что в плоскости щели АВ амплитуды и фазы падающих волн одинаковы.

Разобьем щель на зоны Френеля так, чтобы оптическая разность хода между лучами, идущими от соседних зон, была равна .

Если на ширине щели укладывается четное число таких зон, то в точке (побочный фокус линзы) будет наблюдаться минимум интенсивности, а если нечетное число зон, то максимум интенсивности:

Картина будет симметричной относительно главного фокуса точки . Знак плюс и минус соответствует углам, отсчитанным в ту или иную сторону.

Интенсивность света . Как видно из рис. 9.5, центральный максимум по интенсивности превосходит все остальные.

Рассмотрим влияние ширины щели.

Т.к. условие минимума имеет вид , отсюда

Из этой формулы видно, что с увеличением ширины щели b положения минимумов сдвигаются к центру, центральный максимум становится резче.

При уменьшении ширины щели b вся картина расширяется, расплывается, центральная полоска тоже расширяется, захватывая все большую часть экрана, а интенсивность ее уменьшается.

Дифракция света на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками (рис. 9.6).

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Обозначим: b – ширина щели решетки; а – расстояние между щелями; – постоянная дифракционной решетки .

Линза собирает все лучи, падающие на нее под одним углом и не вносит никакой дополнительной разности хода.

Рис. 9.6	Рис. 9.7

Пусть луч 1 падает на линзу под углом φ (угол дифракции ). Световая волна, идущая под этим углом от щели, создает в точке максимум интенсивности. Второй луч, идущий от соседней щели под этим же углом φ, придет в ту же точку . Оба эти луча придут в фазе и будут усиливать друг друга, если оптическая разность хода будет равна m λ:

Условие максимума для дифракционной решетки будет иметь вид:

где m = ± 1, ± 2, ± 3, … .

Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными максимумами . Значение величины m , соответствующее тому или иному максимуму называется порядком дифракционного максимума.

В точке F 0 всегда будет наблюдаться нулевой или центральный дифракционный максимум .

Так как свет, падающий на экран, проходит только через щели в дифракционной решетке, то условие минимума для щели и будет условием главного дифракционного минимума для решетки :

Конечно, при большом числе щелей, в точки экрана, соответствующие главным дифракционным минимумам, от некоторых щелей свет будет попадать и там будут образовываться побочные дифракционные максимумы и минимумы (рис. 9.7). Но их интенсивность, по сравнению с главными максимумами, мала (≈ 1/22).

При условии ,

волны, посылаемые каждой щелью, будут гаситься в результате интерференции и появятся дополнительные минимумы .

Количество щелей определяет световой поток через решетку. Чем их больше, тем большая энергия переносится волной через нее. Кроме того, чем больше число щелей, тем больше дополнительных минимумов помещается между соседними максимумами. Следовательно, максимумы будут более узкими и более интенсивными (рис. 9.8).

Из (9.4.3) видно, что угол дифракции пропорционален длине волны λ. Значит, дифракционная решетка разлагает белый свет на составляющие, причем отклоняет свет с большей длиной волны (красный) на больший угол (в отличие от призмы, где все происходит наоборот).

Это свойство дифракционных решеток используется для определения спектрального состава света (дифракционные спектрографы, спектроскопы, спектрометры).

Одними из известных эффектов, которые подтверждают волновую природу света, являются дифракция и интерференция. Главная область их применения — спектроскопия, в которой для анализа спектрального состава электромагнитного излучения используют дифракционные решетки. Формула, которая описывает положение главных максимумов, даваемых этой решеткой, рассматривается в данной статье.

Прежде чем рассматривать вывод формулы дифракционной решетки, следует познакомиться с явлениями, благодаря которым это решетка оказывается полезной, то есть с дифракцией и интерференцией.

Дифракция — это процесс изменения движения волнового фронта, когда на своем пути он встречает непрозрачное препятствие, размеры которого сравнимы с длиной волны. Например, если через маленькое отверстие пропустить солнечный свет, то на стене можно наблюдать не маленькую светящуюся точку (что должно было произойти, если бы свет распространялся по прямой линии), а светящееся пятно некоторых размеров. Этот факт свидетельствует о волновой природе света.

Интерференция — еще одно явление, которое характерно исключительно для волн. Его суть заключается в наложении волн друг на друга. Если волновые колебания от нескольких источников согласованы (являются когерентными), тогда можно наблюдать устойчивую картину из чередующихся светлых и темных областей на экране. Минимумы на такой картине объясняются приходом волн в данную точку в противофазе (pi и -pi), а максимумы являются результатом попадания в рассматриваемую точку волн в одной фазе (pi и pi).

Оба описанных явления впервые объяснил англичанин Томас Юнг, когда исследовал дифракцию монохроматического света на двух тонких щелях в 1801 году.

Принцип Гюйгенса-Френеля и приближения дальнего и ближнего полей

Математическое описание явлений дифракции и интерференции является нетривиальной задачей. Нахождение точного ее решения требует выполнение сложных расчетов с привлечением максвелловской теории электромагнитных волн. Тем не менее в 20-е годы XIX века француз Огюстен Френель показал, что, используя представления Гюйгенса о вторичных источниках волн, можно с успехом описывать эти явления. Эта идея привела к формулировке принципа Гюйгенса-Френеля, который в настоящее время лежит в основе вывода всех формул для дифракции на препятствиях произвольной формы.

Тем не менее даже с помощью принципа Гюйгенса-Френеля решить задачу дифракции в общем виде не удается, поэтому при получении формул прибегают к некоторым приближениям. Главным из них является плоский волновой фронт. Именно такая форма волны должна падать на препятствие, чтобы можно было упростить ряд математических выкладок.

Следующее приближение заключается в положении экрана, куда проецируется дифракционная картина, относительно препятствия. Это положение описывается числом Френеля. Оно вычисляется так:

Где a — геометрические размеры препятствия (например, щели или круглого отверстия), λ — длина волны, D — дистанция между экраном и препятствием. Если для конкретного эксперимента F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, тогда имеет место приближение ближнего поля или дифракция Френеля.

Разница между дифракциями Фраунгофера и Френеля заключается в различных условиях для явления интерференции на маленьком и большом расстояниях от препятствия.

Вывод формулы главных максимумов дифракционной решетки, который будет приведен далее в статье, предполагает рассмотрение дифракции Фраунгофера.

Дифракционная решетка и ее виды

Эта решетка представляет собой пластинку из стекла или прозрачного пластика размером в несколько сантиметров, на которую нанесены непрозрачные штрихи одинаковой толщины. Штрихи расположены на постоянном расстоянии d друг от друга. Это расстояние носит название периода решетки. Две других важных характеристики прибора — это постоянная решетки a и число прозрачных щелей N. Величина a определяет количество щелей на 1 мм длины, поэтому она обратно пропорциональна периоду d.

Существует два типа дифракционных решеток:

• Прозрачная, которая описана выше. Дифракционная картина от такой решетки возникает в результате прохождения через нее волнового фронта.
• Отражающая. Она изготавливается с помощью нанесения маленьких бороздок на гладкую поверхность. Дифракция и интерференция от такой пластинки возникают за счет отражения света от вершин каждой бороздки.

Какой бы ни был тип решетки, идея ее воздействия на волновой фронт заключается в создании периодического возмущения в нем. Это приводит к образованию большого количества когерентных источников, результатом интерференции которых является дифракционная картина на экране.

Основная формула дифракционной решетки

Вывод этой формулы предполагает рассмотрение зависимости интенсивности излучения от угла его падения на экран. В приближении дальнего поля получается следующая формула для интенсивности I(θ):

I(θ) = I 0 *(sin(β)/β)2*2, где

α = pi*d/λ*(sin(θ) — sin(θ 0));

β = pi*a/λ*(sin(θ) — sin(θ 0)).

В формуле ширина щели дифракционной решетки обозначается символом a. Поэтому множитель в круглых скобках отвечает за дифракцию на одной щели. Величина d — это период дифракционной решетки. Формула показывает, что множитель в квадратных скобках, где появляется этот период, описывает интерференцию от совокупности щелей решетки.

Пользуясь приведенной формулой, можно рассчитать значение интенсивности для любого угла падения света.

Если находить значение максимумов интенсивности I(θ), то можно прийти к выводу, что они появляются при условии, что α = m*pi, где m является любым целым числом. Для условия максимумов получаем:

m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) — sin(θ 0)) =>

sin(θ m) — sin(θ 0) = m*λ/d.

Полученное выражение называется формулой максимумов дифракционной решетки. Числа m — это порядок дифракции.

Другие способы записи основной формулы для решетки

Заметим, что в приведенной в предыдущем пункте формуле присутствует член sin(θ 0). Здесь угол θ 0 отражает направление падения фронта световой волны относительно плоскости решетки. Когда фронт падает параллельно этой плоскости, то θ 0 = 0o. Тогда получаем выражение для максимумов:

Поскольку постоянная решетки a (не путать с шириной щели) обратно пропорциональна величине d, то через постоянную дифракционной решетки формула выше перепишется в виде:

Чтобы не возникало ошибок при подстановке конкретных чисел λ, a и d в эти формулы, следует всегда использовать соответствующие единицы СИ.

Понятие об угловой дисперсии решетки

Будем обозначать эту величину буквой D. Согласно математическому определению, она записывается следующим равенством:

Физический смысл угловой дисперсии D заключается в том, что она показывает, на какой угол dθ m сместится максимум для порядка дифракции m, если изменить длину падающей волны на dλ.

Если применить это выражение для уравнения решетки, тогда получится формула:

Дисперсия угловая дифракционной решетки определяется по формуле выше. Видно, что величина D зависит от порядка m и от периода d.

Чем больше дисперсия D, тем выше разрешающая способность данной решетки.

Разрешающая способность решетки

Под разрешающей способностью понимают физическую величину, которая показывает, на какую минимальную величину могут отличаться две длины волны, чтобы их максимумы на дифракционной картине появлялись раздельно.

Разрешающая способность определяется критерием Рэлея. Он гласит: два максимума можно разделить на дифракционной картине, если расстояние между ними оказывается больше полуширины каждого из них. Угловая полуширина максимума для решетки определяется по формуле:

Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).

Разрешающая способность решетки в соответствии с критерием Рэлея равна:

Δθ m >Δθ 1/2 или D*Δλ>Δθ 1/2 .

Подставляя значения D и Δθ 1/2 , получаем:

Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>

Δλ > λ/(m*N).

Это и есть формула разрешающей способности дифракционной решетки. Чем больше число штрихов N на пластинке и чем выше порядок дифракции, тем больше разрешающая способность для данной длины волны λ.

Дифракционная решетка в спектроскопии

Выпишем еще раз основное уравнение максимумов для решетки:

Здесь видно, что чем больше длина волны падает на пластинку со штрихами, тем при больших значениях углов будут появляться максимумы на экране. Иными словами, если через пластинку пропустить немонохроматический свет (например, белый), то на экране можно видеть появление цветных максимумов. Начиная от центрального белого максимума (дифракция нулевого порядка), дальше будут появляться максимумы для более коротких волн (фиолетовый, синий), а затем для более длинных (оранжевый, красный).

Другой важный вывод из этой формулы заключается в зависимости угла θ m от порядка дифракции. Чем больше m, тем больше значение θ m . Это означает, что цветные линии будут сильнее разделены между собой на максимумах для высокого порядка дифракции. Этот факт уже был освящен, когда рассматривалась разрешающая способность решетки (см. предыдущий пункт).

Описанные способности дифракционной решетки позволяют использовать ее для анализа спектров излучения различных светящихся объектов, включая далекие звезды и галактики.

Пример решения задачи

Покажем, как пользоваться формулой дифракционной решетки. Длина волны света, которая падает решетку, равна 550 нм. Необходимо определить угол, при котором появляется дифракция первого порядка, если период d равен 4 мкм.

Переводим все данные в единицы СИ и подставляем в это равенство:

θ 1 = arcsin(550*10-9/(4*10-6)) = 7,9o.

Если экран будет находиться на расстоянии 1 метр от решетки, то от середины центрального максимума линия первого порядка дифракции для волны 550 нм появится на расстоянии 13,8 см, что соответствует углу 7,9o.

При перпендикулярном (нормальном) падении параллельного пучка монохроматического света на дифракционную решётку на экране в фокальной плоскости собирающей линзы, расположенной параллельно дифракционной решётке, наблюдается неоднородная картина распределения освещённости разных участков экрана (дифракционная картина).

Главные максимумы этой дифракционной картины удовлетворяют следующим условиям:

где n - порядок главного дифракционного максимума, d - постоянная (период) дифракционной решётки, λ - длина волны монохроматического света, φ n - угол между нормалью к дифракционной решётке и направлением на главный дифракционный максимум n -го порядка.

Постоянная (период) дифракционной решётки длиной l

где N - количество щелей (штрихов), приходящихся на участок дифракционной решётки длиной I.

Наряду с длиной волны часто используется частота v волны.

Для электромагнитных волн (света) в вакууме

где с = 3 *10 8 м/с - скорость распространения света в вакууме.

Выделим из формулы (1) наиболее трудно математически определяемые формулы для порядка главных дифракционных максимумов:

где обозначает целую часть числа d*sin(φ/λ).

Недоопределённые аналоги формул (4, а,б) без символа [...] в правых частях содержат в себе потенциальную опасность подмены физически обоснованной операции выделения целой части числа операцией округления числа d*sin(φ/λ) до целочисленного значения по формальным математическим правилам.

Подсознательная тенденция (ложный след) подмены операции выделения целой части числа d*sin(φ/λ) операцией округления

этого числа до целочисленного значения по математическим правилам ещё более усиливается, когда речь идёт о тестовых заданиях типа В на определение порядка главных дифракционных максимумов.

В любых тестовых заданиях типа В численные значения искомых физических величин по договорённости округляются до целочисленных значений. Однако в математической литературе нет единых(го) правил(а) округления чисел.

В справочной книге В. А. Гусева, А. Г. Мордковича по математике для учащихся и белорусском учебном пособии Л. А. Латотина, В. Я. Чеботаревского по математике для IV класса приводятся по существу одни и те же два правила округления чисел. В они сформулированы так: "При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяются нулями, а если стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют".

В справочнике М. Я. Выгодского по элементарной математике , выдержавшем двадцать семь (!) изданий, написано (с. 74): "Правило 3. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится до ближайшего чётного числа, т.е. последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная, и усиливается (увеличивается на 1), если она нечётная".

Ввиду существования различных правил округления чисел следовало бы правила округления десятичных чисел явно сформулировать в "Инструкции для учащихся", прилагаемой к заданиям централизованного тестирования по физике. Это предложение приобретает дополнительную актуальность, так как в белорусские вузы поступают и проходят обязательное тестирование не только граждане Беларуси и России, но и других стран, и заведомо неизвестно, какими правилами округления чисел они пользовались при обучении в своих странах.

Во всех случаях округление десятичных чисел будем производить по правилам , приведённым в , .

После вынужденного отступления, возвратимся к обсуждению рассматриваемых физических вопросов.

С учётом нулевого (n = 0) главного максимума и симметричного расположения остальных главных максимумов относительно него общее количество наблюдаемых главных максимумов от дифракционной решётки подсчитывается по формулам:

Если расстояние от дифракционной решётки до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина, обозначить через Н, то координата главного дифракционного максимума n -го порядка при отсчёте от нулевого максимума равна

Если то (радиан) и

Задачи на рассматриваемую тему часто предлагают на тестированиях по физике.

Начнём обзор с рассмотрения российских тестов, использовавшихся белорусскими вузами на начальном этапе, когда тестирование в Беларуси было необязательным и проводилось отдельными учебными заведениями на свой страх и риск как альтернатива обычной индивидуальной письменно-устной форме проведения вступительных экзаменов.

Тест № 7

А32. Наибольший порядок спектра, который можно наблюдать при дифракции света с длиной волны λ на дифракционной решётке с периодом d=3,5λ равен

1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.

Решение

Монохроматическим светом ни о каких спектрах не может быть и речи. В условии задачи речь должна идти о главном дифракционном максимуме наибольшего порядка при перпендикулярном падении монохроматического света на дифракционную решётку.

По формуле (4, б)

Из недоопределённого условия

на множестве целых чисел, после округления получаем n mах =4.

Только благодаря несовпадению целой части числа d/λ с его округлённым целочисленным значением правильное решение (n mах =3) отличается от неправильного (n max =4) на тестовом уровне.

Изумительная миниатюра, несмотря на огрехи формулировки, с филигранно выверенным по всем трём версиям округления чисел ложным следом!

А18. Если постоянная дифракционной решётки d= 2 мкм, то для нормально падающего на решётку белого света 400 нм <λ < 700 нм наибольший полностью наблюдаемый порядок спектра равен

1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.

Решение

Очевидно, что n сп =min(n 1max , n 2max )

По формуле (4, б)

Округляя числа d/λ до целочисленных значений по правилам - , получаем:

Благодаря тому, что целая часть числа d/λ 2 отличается от его округлённого целочисленного значения, данное задание позволяет на тестовом уровне объективно отличить правильное решение (n сп = 2) от неправильного (n сп =3). Прекрасная задача с одним ложным следом!

ЦТ 2002 г. Тест № 3

В5. Найдите наибольший порядок спектра для жёлтой линии Na (λ = 589 нм), если постоянная дифракционной решётки d = 2 мкм.

Решение

Задание сформулировано научно некорректно. Во-первых, при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом, как уже отмечалось выше, не может быть и речи о спектре (спектрах). В условии задачи речь должна идти о наибольшем порядке главного дифракционного максимума.

Во-вторых, в условии задания должно быть указано, что свет падает нормально (перпендикулярно) на дифракционную решётку, ибо только этот частный случай рассматривается в курсе физики средних общеобразовательных учреждений. Считать это ограничение подразумевающимся по умолчанию нельзя: в тестах все ограничения должны быть указаны явно ! Тестовые задания должны представлять собою самодостаточные, научно корректные задания.

Число 3,4, округлённое до целочисленного значения по правилам арифметики - , также даёт 3. Именно поэтому данное задание следует признать простым и, по большому счёту, неудачным, так как на тестовом уровне оно не позволяет объективно различить правильное решение, определяемое по целой части числа 3,4, от неправильного решения, определяемого по округлённому целочисленному значению числа 3,4. Различие обнаруживается только при подробном описании хода решения, что и сделано в данной статье.

Дополнение 1. Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии d=2 мкм на d= 1,6 мкм. Ответ: n max = 2.

ЦТ 2002 г. Тест 4

В5 . На дифракционную решётку направляется свет от газоразрядной лампы. На экране получаются дифракционные спектры излучения лампы. Линия с длиной волны λ 1 = 510 нм в спектре четвёртого порядка совпадает с линией длины волны λ 2 в спектре третьего порядка. Чему равна λ 2 (в [нм])?

Решение

В данной задаче основной интерес представляет не решение задачи, а формулировка её условия.

При освещении дифракционной решётки немонохроматическим светом(λ 1 , λ 2 ) вполне естественно говорить (писать) о дифракционных спектрах, которых в принципе нет при освещении дифракционной решётки монохроматическим светом.

В условии задания следовало бы указать, что свет от газоразрядной лампы падает нормально на дифракционную решётку.

Кроме того, следовало бы изменить филологический стиль третьего предложения в условии задания. Режет слух оборот "линия с длиной волны λ "" , его можно было бы заменить на "линия, соответствующая излучению длиной волны λ "" или на более краткий - "линия, соответствующая длине волны λ "" .

Формулировки тестов должны быть научно корректными и литературно безупречными. Тесты формулируют совсем не так, как исследовательские и олимпиадные задачи! В тестах всё должно быть точно, конкретно, однозначно.

С учётом приведённого уточнения условия задания имеем:

Так как по условию задания то

ЦТ 2002 г. Тест № 5

В5. Найдите наибольший порядок дифракционного максимума для жёлтой линии натрия с длиной волны 5,89·10 -7 м, если период дифракционной решётки равен 5 мкм.

Решение

По сравнению с заданием В5 из теста № 3 ЦТ 2002 г. данное задание сформулировано точнее, тем не менее в условии задания речь следовало бы вести не о "дифракционном максимуме", а о "главном дифракционном максимуме ".

Наряду с главными дифракционными максимумами всегда имеются ещё и вторичные дифракционные максимумы . Не объясняя этого нюанса в школьном курсе физики, тем более надо строго соблюдать сложившуюся научную терминологию и вести речь только о главных дифракционных максимумах.

Кроме того, следовало бы указать, что свет падает нормально на дифракционную решётку.

С учётом вышеприведённых уточнений

Из неопределённого условия

по правилам математического округления числа 8,49 до целочисленного значения опять же получаем 8. Поэтому данное задание, как и предыдущее, следует признать неудачным.

Дополнение 2 . Решите вышеприведённое задание, заменив в его условии d =5 мкм на (1=А мкм. Ответ: n max =6.)

Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 6

В5. Если второй дифракционный максимум находится на расстоянии 5 см от центра экрана, то при увеличении расстояния от дифракционной решётки до экрана на 20% этот дифракционный максимум будет находиться на расстоянии... см.

Решение

Условие задания сформулировано неудовлетворительно: вместо "дифракционный максимум" надо "главный дифракционный максимум", вместо "от центра экрана" - "от нулевого главного дифракционного максимума".

Как видно из приведённого рисунка,

Отсюда

Пособие РИКЗ 2003 г. Тест № 7

В5. Определите наибольший порядок спектра в дифракционной решётке, имеющей 500 штрихов на 1 мм, при освещении её светом с длиной волны 720 нм.

Решение

Условие задания сформулировано крайне неудачно в научном отношении (см. уточнения заданий № 3 и 5 из ЦТ 2002 г.).

Есть претензии и к филологическому стилю формулировки задания. Вместо словосочетания "в дифракционной решётке" надо было бы использовать словосочетание "от дифракционной решётки", а вместо "свет с длиной волны" - "светом, длина волны которого". Длина волны - не нагрузка к волне, а её основная характеристика.

С учётом уточнений

По всем трём вышеприведённым правилам округления чисел округление числа 2,78 до целочисленного значения даёт 3.

Последний факт даже при всех недостатках формулировки условия задания делает его интересным, так как позволяет на тестовом уровне различить правильное (n max =2) и неправильное (n max =3) решения.

Много заданий на рассматриваемую тему содержится в ЦТ 2005 г. .

В условиях всех этих заданий (В1) надо добавить ключевое слово "главный" перед словосочетанием "дифракционный максимум" (см. комментарии к заданию В5 ЦТ 2002 г. Тест № 5).

К сожалению, во всех вариантах тестов В1 ЦТ 2005 г. численные значения d (l,N) и λ подобраны неудачно и всегда дают в дробях

число "десятых" меньше 5, что не позволяет на тестовом уровне отличить операцию выделения целой части дроби (правильное решение) от операции округления дроби до целочисленного значения (ложный след). Это обстоятельство ставит под сомнение целесообразность использования этих заданий для объективной проверки знаний абитуриентов по рассматриваемой теме.

Похоже на то, что составители тестов увлеклись, образно говоря, приготовлением различных "гарниров к блюду", не думая об улучшении качества основной компоненты "блюда" - подборе численных значений d (l,N) и λ с целью увеличения числа "десятых" в дробях d/λ=l/(N* λ).

ЦТ 2005 г. Вариант 4

В1. На дифракционную решётку, период которой d 1 =1,2 мкм, падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ =500 нм. Если её заменить на решётку, период которой d 2 =2,2 мкм, то число максимумов увеличится на... .

Решение

Вместо "свет с длиной волны λ"" надо "свет длиной волны λ "" . Стиль, стиль и ещё раз стиль!

Так как

то с учётом того, что X - const, a d 2 >di,

По формуле (4, б)

Следовательно, ΔN общ. max =2(4-2)=4

При округлении чисел 2,4 и 4,4 до целочисленных значений тоже получаем соответственно 2 и 4. По этой причине данное задание следует признать простым и даже неудачным.

Дополнение 3 . Решите вышеприведённую задачу, заменив в её условии λ =500 нм на λ =433 нм (синяя линия в спектре водорода).

Ответ: ΔN общ. max =6

ЦТ 2005 г. Вариант 6

В1 . На дифракционную решётку с периодом d= 2 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ =750 нм. Количество максимумов, которые можно наблюдать в пределах угла а =60°, биссектриса которого перпендикулярна плоскости решётки, равно... .

Решение

Словосочетание "света с длиной волны λ " уже обсуждалось выше в ЦТ 2005 г., вариант 4.

Второе предложение в условии данного задания можно было бы упростить и записать так: "Количество наблюдаемых главных максимумов в пределах угла а = 60°" и далее по тексту исходного задания.

Очевидно, что

По формуле (4, а)

По формуле (5, а)

Это задание, как и предыдущее, не позволяет на тестовом уровне объективно определить уровень понимания обсуждаемой темы абитуриентами.

Дополнение 4. Выполните вышеприведённое задание, заменив в его условии λ =750 нм на λ = 589 нм (жёлтая линия в спектре натрия). Ответ: N o6щ =3.

ЦТ 2005 г. Вариант 7

В1. На дифракционную решётку, имеющую N 1 - 400 штрихов на l =1 мм длины, падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ =400 нм. Если её заменить решёткой, имеющей N 2 =800 штрихов на l =1 мм длины, то количество дифракционных максимумов уменьшится на... .

Решение

Опустим обсуждение неточностей формулировки задания, так как они те же, что и в предыдущих заданиях.

Из формул (4, б), (5, б) следует, что

Как найти период дифракционной решетки?

ну стыдно не знать

Судя по всему, что просто число единиц.
Т.е., никакой специфической единицы измерения у него нет.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/84886/Дифракционная
Ну, по крайней мере, тут я прочитал, что R=mN, где m - просто целое число, а N - опять же число щелей, и поскольку никаких единиц измерения под ними не подразумевается, то и ожидать какую-то единицу измерения от их произведения тоже не следует.
То же самое следует и из этой формулы "R=λ/dλ": это как время делить на изменение времени - будут просто единицы, если логика моя верна.

• ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

  в узком (наиболее употребительном) смысле - явление огибания лучами света контура непрозрачных тел и, следовательно, проникновение света в область геом. тени; в широком смысле - проявление волновых св-в света в условиях, близких к условиям применимости представлении геометрической оптики.
  В естеств. условиях Д. с. обычно наблюдается в виде нерезкой, размытой границы тени предмета, освещаемого удалённым источником. Наиболее контрастна Д. с. в пространств. областях, где плотность потока лучей претерпевает резкое изменение (в области каустической поверхности, фокуса, границы геом. тени и др.). В лабораторных условиях можно выявить структуру света в этих областях, проявляющуюся в чередовании светлых и тёмных (или окрашенных) областей на экране. Иногда эта структура проста, как, напр., при Д. с. на дифракционной решётке, часто очень сложна, напр. в области фокуса линзы. Д. с. на телах с резкими границами используется в инструментальной оптике и, в частности, определяет предел возможностей оптич. устройств.
  Первая элем. количеств. теория Д. с. была развита франц. физиком О. Френелем (1816), к-рый объяснил её как результат интерференции вторичных волн (см. ГЮЙГЕНСА - ФРЕНЕЛЯ ПРИНЦИП). Несмотря на недостатки, метод этой теории сохранил своё значение, особенно в расчётах оценочного характера.
  Метод состоит в разбиении фронта падающей волны, обрезанного краями экрана, на зоны Френеля.
  Рис. 1. Дифракц. кольца при прохождении света: слева - через круглое отверстие, в к-ром укладывается чётное число зон; справа - вокруг круглого экрана.
  Считается, что на экране вторичные световые волны не рождаются и световое поле в точке наблюдения определяется суммой вкладов от всех зон. Если отверстие в экране оставляет открытым чётное число зон (рис. 1), то в центре дифракц. картины получается тёмное пятно, при нечётном числе зон - светлое. В центре тени от круглого экрана, закрывающего не слишком большое число зон Френеля, получается светлое пятно. Величины вкладов зон в световое поле в точке наблюдения пропорциональны площадям зон и медленно убывают с ростом номера зоны. Соседние зоны вносят вклады противоположных знаков, т. к. фазы излучаемых ими волн противоположны.
  Результаты теории О. Френеля послужили решающим доказательством волновой природы света и дали основу теории зонных пластинок. Различают два вида Д. с.- д и ф р а кц и ю Френеля и дифракцию Фраунгофера в зависимости от соотношения между размерами тела b, на к-ром происходит дифракция, и величиной зоны Френеля?(zl) (а следовательно, в зависимости от расстояния z до точки наблюдения). Метод Френеля эффективен лишь тогда, когда размер отверстия сравним с размером зоны Френеля: b = ?(zl) (дифракция в сходящихся лучах). В этом случае небольшое число зон, на к-рые разбивается сферич. волна в отверстии, определяет картину Д. с. Если отверстие в экране меньше зоны Френеля (b<-?(zl), дифракции Фраунгофера), как, напр., при очень удалённых от экрана наблюдателя и источника света, то можно пренебречь кривизной фронта волны, считать её плоской и картину дифракции характеризовать угловым распределением интенсивности потока. При этом падающий параллельный пучок света на отверстии становится расходящимся с углом расходимости j = l/b. При освещении щели параллельным монохроматич. пучком света на экране получается ряд тёмных и светлых полос, быстро убывающих по интенсивности. Если свет падает перпендикулярно к плоскости щели, то полосы расположены симметрично относительно центр. полосы (рис. 2), а освещённость меняется вдоль экрана периодически с изменением j, обращаясь в нуль при углах j, для к-рых sinj=ml/b (m=1, 2, 3, . . .).
  Рис. 2. Дифракция Фраунгофера на щели.
  При промежуточных значениях j освещённость достигает макс. значений. Гл. максимум имеет место при m=0 и sinj=0, т. е. j=0. С уменьшением ширины щели центр. светлая полоса расширяется, а при данной ширине щели положение минимумов и максимумов зависит от l, т. е. расстояние между полосами тем больше, чем больше l. Поэтому в случае белого света имеет место совокупность соответствующих картин для разных цветов; гл. максимум будет общим для всех l и представляется в виде белой полоски, переходящей в цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному.
  В матем. отношении дифракция Фраунгофера проще дифракции Френеля. Идеи Френеля математически воплотил нем. физик Г. Кирхгоф (1882), к-рый развил теорию граничной Д. с., применяемую на практике. Однако в его теории не учитываются векторный характер световых волн и св-ва самого материала экрана. Математически корректная теория Д. с. на телах требует решения сложных граничных задач рассеяния эл.-магн. волн, имеющих решения лишь для частных случаев.
  Первое точное решение было получено нем. физиком А. Зоммерфельдом (1894) для дифракции плоской волны на идеально проводящем клине. На больших по сравнению с l расстояниях от острия клина результат Зоммерфельда предсказывает более глубокое проникновение света в область тени, чем это следует из теории Кирхгофа.
  Дифракц. явления возникают не только на резких границах тел, но и в протяжённых системах. Такая объёмная Д. с. обусловливается крупномасштабными по сравнению с l неоднородностями диэлектрич. проницаемости среды. В частности, объёмная Д. с. происходит при дифракции света на ультразвуке, в голограммах в турбулентной среде и нелинейных оптич. средах. Часто объёмная Д. с., в отличие от граничной, неотделима от сопутствующих явлений отражения и преломления света. В тех случаях, когда в среде нет резких границ и отражение играет незначит. роль в характере распространения света в среде, для дифракц. процессов применяют асимптотич. методы теории дифференциальных ур-ний. Для таких приближённых методов, к-рые составляют предмет диффузионной теории дифракции, характерно медленное (на размере Я) изменение амплитуды и фазы световой волны вдоль луча.
  В нелинейной оптике Д. с. происходит на неоднородностях показателя преломления, к-рые создаются самим распространяющимся через среду излучением. Нестационарный характер этих явлений дополнительно усложняет картину Д. с., в к-рой кроме углового преобразования спектра излучения возникает и частотное преобразование.

На свойстве дифракции основано устройство дифракционной решетки. Дифракционная решетка - это совокупность очень большого количества узких щелей, которые разделены непрозрачными промежутками.

Общий вид дифракционной решетки представлен на следующем рисунке.

Период решетки и принцип ее работы

Период решетки - это сумма ширины одной щели и одного непрозрачного промежутка. Для обозначения используют букву d. Период дифракционный решетки часто колеблется около 10 мкм. Рассмотрим, как работает и для чего нужна дифракционная решетка.

На дифракционную решетку падает плоская монохроматическая волна. Длина этой волны равняется λ. Вторичные источники, расположенные в щелях решетки, создают световые волны, которые будут распространяться во всех направлениях. Будем искать условия, при которых волны, идущие от различных щелей, будут усиливать друг друга.

Для этого рассмотрим распространение волн, в каком либо одном направлении. Пусть это будут волны, распространяющиеся под углом φ.
Разность хода между волнами будет равна отрезку АС. Если в этом отрезке можно уложить целое число длин волн, то волны из всех щелей, будут накладываться друг на друга, и усиливать друг друга.

Длину Ас можно найти из прямоугольного треугольника АВС.

AC = AB*sin(φ) = d*sin(φ).

Можем записать условие для угла, при котором будут наблюдаться максимумы:

d*sin(φ) = ±k*λ.

Здесь k - любое положительное целое число или 0. Величина, определяющая порядок спектра.

За решеткой располагают собирающую линзу. С помощью нее фокусируются лучи идущие параллельно. Если угол удовлетворяет условию максимума, то на экране он определяет положение главных максимумов. Так как положение максимумов будет зависеть от длины волны, то решетка будет разлагать белый свет в спектр. Это представлено на следующем рисунке.

картинка

картинка

Между максимума будут промежутки минимума освещенности. Чем больше число щелей, тем четче будут очерчены максимумы, и тем больше будет ширина минимумов.

Дифракционная решетка используется для точного определения длины волны. При известном периоде решетки определить длину волны очень легко, достаточно лишь измерить угол φ направления на максимум.